Что такое сумма углов

Теорема о сумме углов треугольника

Треугольник может иметь различные углы — острые, прямой, тупой, — но сумма их величин не может превышать 180 градусов. Эта закономерность отражена в теореме, доказательство которой имеет несколько вариантов.

Сумма углов в треугольнике всегда равна 180 о .

Данная теорема является одной из основных, рассматриваемых на уроках геометрии.

Рассмотрим рисунок с треугольником ABC:

Треугольник имеет углы: A, B, C. Это углы внутренние. Складывая их величины, неизменно получаем 180о. При этом не имеет значения, данный треугольник равнобедренный, равносторонний или прямоугольный.

Исходя из такого свойства, треугольник не может иметь два тупых угла, поскольку их сумма будет более 180о.

Смысл теоремы о сумме углов треугольника был известен еще в Древнем Египте, его установили эмпирическим путем, т.е. путем наблюдения. Однако вероятно, что в то время отсутствовало доказательство этого утверждения. Его можно обнаружить в трудах Прокла, когда он давал комментарии к «началам» Евклида.

В книге № 1 евклидовских «Начал» приведено иное доказательство данной теоремы, чем принято сейчас. Оно опирается на соответствующий чертеж.

Рассматриваемая теорем приписывается не только Евклиду, но и Пифагору. Она много раз подвергалась сомнению в неевклидовой геометрии.

Доказательство теоремы

Продолжим рассмотрение треугольника ABC из предыдущего раздела.

Для доказательства теоремы проведем дополнительную прямую линию так, чтобы она была параллельна стороне AC и проходила через вершину треугольника B (угол 2).

Таким образом, в районе угла B образовалось три угла (№№ 4, 2, 5). Из рисунка видно, что их сумма равняется 180о.

На данном рисунке имеются накрест лежащие углы: №1 и №4. Их образование произошло при пересечении прямой AB двух параллельных прямых AC и α. Углы №3 и №5 — также накрест лежащие. Только образованы они при пересечении прямой BC двух параллельных прямых AC и α.

Углы №1 и №4, а также №3 и №5 попарно равны.

Поскольку сумма углов №№ 4, 2, 5 равна 180о, а углы №4 можно заменить №1, а №5 — №3, сумма углов №№ 1, 2, 3 также равна 180о.

Такое доказательство опирается на свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.

Следствие из теоремы

Формулировка теоремы о сумме углов треугольника имеет несколько следствий. Среди них:

1. Если в треугольнике один из углов прямой, то сумма прочих двух углов равна 90о. Свойство вытекает из обычного алгебраического действия. Обозначим углы прямоугольного треугольника A, B, C. Допустим, что C=90о. Тогда (A+B)=180о+90о.
2. Для равнобедренного прямоугольного треугольника характерно, что каждый из его острых углов равен 45о.
3. Треугольник, у которого равны длины всех трех сторон, имеет равные углы — 60о.
4. Углы любого треугольника либо все являются острыми, либо острых два, а третий равен 90о либо больше 90о (тупой).
5. Сумма двух внутренних углов, которые не смежны с внешним, равна величине этого внешнего угла.

Классификация треугольников по видам углов

Рассматривая треугольники, как многоугольники с тремя вершинами, в геометрии выделяют их следующие разновидности:

1. Остроугольный треугольник (все три вершины представляют собой острые углы).
2. Прямоугольный (одна из вершин составляет 90о). Стороны, которые образуют данный угол, — катеты, а сторона, противолежащая углу в 90о, — гипотенуза.
3. Тупоугольный (одна из вершин представлена тупым углом, а две другие — острыми).

В зависимости от особых характеристик сторон треугольника, существует еще одна классификация:

1. Треугольник с тремя равными сторонам — равносторонний.
2. Треугольник с двумя равными сторонами — равнобедренный.

Приведенная классификация подразумевает существование определенных признаков у каждой из названных групп. Эти признаки приходят на помощь в решении задач, когда нужно доказать особенности каких-либо геометрических фигур. Так:

1. Больший угол всегда расположен напротив большей стороны.
2. Равные углы всегда расположены так, что напротив них — равные стороны.
3. Любой треугольник (равносторонний, равнобедренный, тупоугольный, прямоугольный и т. п.) имеет 2 острых угла.
4. Любой внешний угол всегда по размеру превышает внутренний и равен сумме прочих, не смежных с ним, углов.

Для прямоугольного треугольника существуют еще несколько свойств, вытекающих из его определения и изложенных в учебниках по геометрии:

1. Напротив катетов всегда расположены острые углы.
2. Гипотенуза всегда превышает по своей длине любой из катетов, однако меньше их суммы.
3. Тот катет, напротив которого находится острый угол величиной 30о, равен половине длины гипотенузы.
4. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Данное свойство доказывается теоремой Пифагора.

Существуют отдельные свойства для равнобедренного треугольника. Его высота, проведенная в направлении основания, совпадает с медианой и биссектрисой того угла, который расположен между равными сторонами. Кроме того, она совпадает с осью симметрии треугольника, проведенной по основанию.

Пояснение на примерах

Рассмотрим особенности треугольников, приведенные выше, на примерах.

Сколько градусов составляет один из углов треугольника, если величины других 25о и 42о?

Исходя из теоремы о сумме углов в треугольнике, производим следующие вычисление:

Следовательно, данный треугольник тупоугольный.

Известно, что в треугольнике один из углов равен сумме двух других. К какому виду треугольников относится данная геометрическая фигура?

Обозначим угол, равный сумме двух других углов, за X. Тогда X+2X/2=180 Путем математических действий приходим к уравнению следующего вида: 2X=180, откуда X=90о.

Ответ: данный треугольник имеет прямой угол, поэтому является прямоугольным.

Дан треугольник ABC. В нем угол C на 15о больше, чем угол A, а угол B — на 30о его меньше. Найти величину каждого из углов.

Обозначим X величину угла A. Тогда угол C=X+15, B=X-30

Используем свойство суммы углов треугольника и составляем уравнение:

Ответ: угол A=65о, угол B=65-30=35о, угол C=65+15=80о.

Для проверки можно сложить величины полученных результатов: 65+35+80=180о. Следовательно, задача решена верно.

Про треугольник ABC известно, что угол A составляет 60о, угол B — 80о. Из угла A на сторону BC опущена биссектриса, образовав треугольник ACD. Каких величин углы имеет данный треугольник?

Исходя из определения биссектрисы, мы знаем, что это луч, который начинаясь в вершине угла треугольника и деля его на два равных угла, пересекает противоположную сторону в определенной точке.

Поскольку биссектриса делит угол A пополам, образованный угол DAB равен 30о, а угол ADC=30+80=110о (поскольку это внешний угол треугольника).

Исходя из правила, что сумма углов в треугольнике равна 180о, проводим математическое действие:

Ответ: Угол C равен 40о.

В треугольнике ABC известна величина одного угла: A = 40о. Известно, что также что угол, смежный с углом B, составляет 70о. Определить величины всех углов.

Решение задания заключается в уравнении. Обозначим величину угла C за X. Тогда

Данный вариант решения основан на том свойстве, что если сумма смежных углов равна 180о (а именно это мы видим на рисунке относительно угла B), то величина каждого из них равна 180о минус величина смежного угла.

Ответ: Величина угла C = 30о, угла B — 110о.

Проверочным действием является операция сложения всех известных и найденных величин углов: 110о+30о+40о=180о.

В треугольнике ABC известен угол A (40о). Кроме того, по условию этот треугольник равносторонний (AC=BC). Найти величины двух оставшихся углов.

Известно утверждение, что в равностороннем треугольнике величины углов прилегающих к этим сторонам, равны. Следовательно, углы B и A равны. Используя теорему о сумме углов в треугольнике, принимая величину угла C за X, составляем равенство:

Ответ: Величина угла B равна 40о, угла C — 100о. Следовательно, треугольник является тупоугольным.

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Из треугольника АОС находим:

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны ( как вертикальные).

Записываем в тетрадь:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°

Изучите видео ролик ниже:

Видео YouTube

Введем еще одно понятие — прямоугольный треугольник. Раз уж мы говорим о видах треугольников и их углах, то нужно сказать о прямоугольном треугольнике.

Что примечательно: Если в сумме углы треугольника составляют 180 градусов, а у прямоугольного треугольника один угол 90 градусов, то остальные два из трех в сумме равны 180 — 90 = 90 градусов. То есть вывод какой: два угла в прямоугольном треугольнике острые, а один прямой.

Практическая часть занятий:

Надеюсь, что теоретическую часть вы рассмотрели и знаете, что сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов, а внешний угол треугольника равен сумме двух, не смежных с ним углов.

Итак, приступим к поиску решения.

1. Рассмотрим задачу на рисунке 1. Внешним углом этого треугольника будет угол равный 100 градусов. Так как он равен сумме двух углов, которые с ним не смежны, то неизвестный угол будет равен 60 градусов.

2. Рассмотрим задачу на рисунке 2. На рисунке видны два внешних угла у треугольника: один равен 150, другой прямой = 90 градусов.

Остальные два рисунка разберите самостоятельно. ( Нужно вспомнить свойства равнобедренного треугольника).

Решение задач на отыскание величин треугольника по теореме о сумме углов треугольника и внешнем угле. Теоремы обязательно выучить и видео внимательно все разобрать:

Видео YouTube

Что такое сумма углов

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же — 180°. «Как же это доказать? — подумал Паскаль. — Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников — их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.

Сумма углов треугольника

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой. Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а < b + с, b < а + с, с < а + b. Следствие. Длина ломаной больше отрезка, соединяющего ее концы.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

По двум катетам. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

По катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство этих признаков сразу сводится к одному из признаков равенства треугольников.

По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Приложим треугольники равными катетами. Получим равнобедренный треугольник. Его высота, проведенная из вершины, будет и медианой. Тогда у треугольников равны и вторые катеты, и треугольники равны по трем сторонам.

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми. ТЕОРЕМА. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем

Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными .

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными .

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

Теорема о сумме углов треугольника

В самом начале урока рассказываем о том, как великий учёный Блез Паскаль заметил, что у всех треугольников сумма углов равна 180°. После этого мы доказываем теорему о сумме углов треугольника. Также мы останавливаем внимание на свойствах, вытекающих из данной теоремы. Далее на уроке мы даём определение внешнему углу треугольника, доказываем теорему о внешнем угле треугольника и решаем задачи.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Теорема о сумме углов треугольника»

Блез Паскаль, великий французский учёный 17-го века, заметил, что у всех треугольников сумма 3-х углов равна 180 градусов. И у него возник вопрос: «Как это доказать?»

И он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. В результате получился развёрнутый угол, градусная мера которого, как вам уже известно, равна 180 градусов.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Пусть АВС — произвольный треугольник. Доказать, что ∠А+∠В+∠С= 180 градусов.

Проведём прямую а через точку В параллельно стороне АС.

∠1 и ∠4 — внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых а и АС и секущей АВ. А значит, ∠1=∠4. ∠3 и ∠5 являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых а и АС и секущей ВС. Следовательно, ∠3=∠5.

Сумма градусных мер ∠4, ∠2 и ∠5 равна градусной мере развёрнутого угла с вершиной в точке В, то есть ∠4+∠2+∠5=180 градусов.

А так как ∠1=∠4, ∠3=∠5, то получаем, что ∠1+∠2+∠3=180 градусов. То есть ∠А+∠В+∠С=180 градусов. Теорема доказана.

Из теоремы следует:

1. Углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника.

Например, ∠1 — внешний угол треугольника АВС, смежный с ∠ВАС. ∠2 — внешний угол, смежный с ∠АСВ.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Пусть АВС — произвольный треугольник. Доказать, что градусная мера ∠4 равна сумме градусных мер углов 1 и 2, не смежных с ним.

Сумма градусных углов 3 и 4 равна градусной мере развёрнутого угла, то есть ∠3+∠4=180 градусов. А по теореме о сумме градусных мер углов треугольника ∠1+∠2+∠3=180 градусов. Из полученных двух равенств следует, что ∠1+∠2=∠4. Что и требовалось доказать.

Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны. ∠А=42 градуса. Чему равна градусная мера угла В?

Так как АВ=ВС, то треугольник АВС является равнобедренным. Нам известно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. А значит, ∠С=42 градуса.

По теореме о сумме углов треугольника ∠А+∠В+∠С=180 градусов. Из этого равенства получаем:

На рисунке ∠ВСD=110 градусов, а ∠ВАС=45 градусов. Найти градусную меру ∠АВЕ.

Так как углы ВСD и ВСА — смежные, то:

Искомый ∠АВЕ является внешним углом нашего треугольника, смежным с ∠АВС. А значит:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС отрезок ВD является высотой. Найдите градусные меры углов треугольника ABD, если ∠АВС=56 градусов.

Так как треугольник АВС — равнобедренный, то высота ВD, проведённая к основанию, является также и биссектрисой. Значит:

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α		sin β		sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

• внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
• совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

Формула Герона

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S =	a · b · с
	4R

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.