Сумма квадратов всех целых чисел: онлайн калькулятор |

Сумма квадратов простых чисел

Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит [1] :

Любое простое число p = 4 n + 1 , где n — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

где p — простое число.

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида 4 k + 3 входит в его разложение на простые множители в чётной степени.

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

Содержание

История [ править | править код ]

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения [2] .

Доказательства [ править | править код ]

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром [3] :

имеет ровно одну неподвижную точку (а именно ( 1 , 1 , k ) , так как p = 4 k + 1 — простое), так что | S | нечётно и инволюция ( x , y , z ) → ( x , z , y ) ightarrow (x,z,y)> также имеет неподвижную точку.

Также есть доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ [4] .

Материалы в помощь студентам и научным работникам

Министерство общего и профессионального образования

Имени Ярослава Мудрого.

Кафедра «Прикладная математика и информатика».

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ

КВАДРАТОВ И В ВИДЕ

Преподаватель:

Неустроев Н.В.

Студент группы № 3311

ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА 5

Доказательство (Лагранжа) 5

Единственность представления простого

числа в виде суммы двух квадратов 6

КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух

квадратов 8

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ 9

ВВЕДЕНИЕ Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние знали не все.
Пьер Ферма Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если произносится слово «ферматист», значит, речь идет о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601–1665), одному из самых светлых умов Франции. Ферма – человек удивительной судьбы: один из величайших математиков всех времен, он не был, в современной терминологии, «профессиональным» математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента в Тулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь (это иногда случается с людьми), и именно эта наука дала ему все, что может дать человеку любовь: упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было еще математических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми: сын обработал архив отца и издал его.»Я доказал много исключительно красивых теорем», – сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал. В бумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательных утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно, год за годом, таких недоказанных утверждений становилось все меньше и меньше. И наконец, осталось только одно. Хорошо известно, что квадраты некоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 3 2 +4 2 =5 2 . Можно описать все целочисленные решения уравнения x 2 +y 2 =z 2 . Это было сделано Диофантом, греческим математиком, жившим (вероятно) в III веке нашей эры, во второй книге его трактата «Арифметика» (до нас дошли 6 книг из 13). На полях около решения Диофанта Ферма написал: «Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т. е. четвертую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Иначе говоря, уравнение x n +y n =z n при натуральном n>2 в целых числах неразрешимо.

В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n=4 (это единственное подробное доказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма). Для n=3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768 году. В течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предприняты огромные усилия. Особенных успехов добился немецкий математик Куммер. После его работ теорема Ферма оказалась доказанной для всех простых n (а доказать ее только для них), меньших 100, кроме 37, 59 и 97. В нашем веке теорема Ферма была доказана для простых чисел, меньших 100,000 , но окончательное решение так и не было найдено.

В 1908 году любитель математики Вольфскель завещал 100,000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиков многих стран. Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма. Как правило, они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратились немалые силы многих математиков.

Во время Первой мировой войны эта премия обесценилась. Поток псевдодоказательств сократился, но не иссяк.

И уже казалось, что эта проблема перейдет через новую грань веков, но все-таки пять лет тому назад английский математик Уайлс «залатал последнюю дыру» в своем доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал перед математическим миром в 1993 году.

Мир признал: Великая теорема Ферма доказана!

Однако, тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо от его Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самых проницательных умов своего времени – времени Гигантов. Его по праву считают основоположником теории чисел, он внес огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки: математический анализ, аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности.

Следующая теорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений математики XVII–XVIII веков.

Взгляните на несколько первых нечетных простых чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, .

Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=2 2 +1 2 , 13=2 2 +3 2 , 17=1 2 +4 2 , а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема: Для того, чтобы нечетное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

Доказательство (Лагранжа)

Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона : если p — простое число, то число (p-1)!+1 делится на p .

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x , 2 x 11 , найдется такое число y , 2 y 11 , что x* y при делении на 13 дае в остатке 1. Действительно,

(13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12,

и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12 , откуда (для выбранного нами числа 13 ) следует утверждение леммы Вильсона.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1 , где n — натуральное число, то ((2n)!) 2 +1 делится на p . Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p , и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*. *(4n)+1=
=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*. *(p-1)+1=
=(2n)!(-1) 2n (2n)!+pk+1 ((2n)!) 2 +1(mod p).

Обозначим (2n)! через N . Мы доказали, что N 2 -1(mod p) .

Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m,s) , такие что 0 m [ ] , 0 s [ ] , через [ ] обозначена целая часть числа — наибольшее целое число, не превосходящее . Число таких пар ([ ]+1) 2 >p . Значит, по крайней мере для двух различных пар (m _>1> ,s _>1> ) и (m _>2> ,s _>2> ) остатки от деления m _>1> +Ns _>1> и m _>2> +Ns _>2> на p одинаковы, т. е. число a+Nb , где a=m _>1> -m _>2> , b=s _>1> -s _>2> , будет делиться на p . При этом |a| [ ] , |b| [ ] . Но тогда число a 2 -N 2 b 2 =(a+Nb)(a-Nb) делится на p , и значит, учитывая, что N 2 -1(mod p) , получим, что a 2 +b 2 делится на p , т. е. a 2 +b 2 =rp , где r — натуральное число ( r 0 , ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a 2 +b 2 2[ ] 2 , т. е. r=1 , и значит, a 2 +b 2 =p . Теорема доказана.

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.

Единственность представления простого числа в виде суммы двух квадратов По теореме Ферма-Эйлера любое простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы двух квадратов. Осталось доказать, что такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых. Теорема: Никакое простое число не может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами.

Доказательство. Если бы простое число p имело два существенно разных представления, p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 , то разложения p = (a + bi)(a – bi) = (c + di)(c – di) представляют собой противоречие . Можно обойтись в доказательстве теоремы 9 и без комплексных чисел. Предположим, что простое число p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не только порядком слагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел:

p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 .

Тогда и Следовательно, a 2 c 2 = (-b 2 )(-d 2 )(mod p), т. е. число a 2 c 2 – b 2 d 2 кратно p. (Если рассуждения со сравнениями по модулю p непривычны и потому подозрительны, можно получить то же самое, рассматривая тождество a 2 c 2 – b 2 d 2 = a 2 (c 2 + d 2 ) – (a 2 + b 2 )d 2 ).)

Поскольку число p простое, из делимости произведения (ac + bd)(ac – bd) на p следует, что один из множителей кратен p. Если число ac + bd кратно p, то воспользуемся формулой (1):

p 2 = (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 .

Если то противоречие очевидно, ибо первое слагаемое (ac + bd) 2 кратно p 2 и потому не меньше p 2 . Если же ad – bc = 0, то ad = bc. Поскольку как числа a и b, так и числа c и d взаимно просты, имеем a = c и d = b.

Случай, когда ac – bd кратно p, можно рассмотреть аналогично, воспользовавшись формулой p 2 = (ac – bd) 2 + (ad + bc) 2 .

Итак, простое число нельзя двумя существенно разными способами представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Число, единственным образом представимое в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, не всегда является простым: 10 = 1 2 + 3 2 , 25 = 3 2 + 4 2 . Легко сформулировать условия, при которых число имеет единственное представление в виде суммы двух квадратов. Однако боле целесообразной представляется следующая задача, описанная далее.

Доказательство. Если бы простое число p имело два существенно разных представления, p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 , то разложения p = (a + bi)(a – bi) = (c + di)(c – di) представляют собой противоречие . Можно обойтись в доказательстве теоремы 9 и без комплексных чисел. Предположим, что простое число p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не только порядком слагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел:

p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 .

p 2 = (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 .

Случай, когда ac – bd кратно p, можно рассмотреть аналогично, воспользовавшись формулой p 2 = (ac – bd) 2 + (ad + bc) 2 .

КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух квадратов

В III веке нашей эры греческий математик Диофант не только знал, что число 65 представимо двумя способами, но и объяснял это тем, что 65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов. Комплексных чисел Диофант не знал, иначе он непременно выписал бы разложения 5 = (2 + i)(2 – i), 13 = (3 + 2i)(3 – 2i и продолжил бы свои объяснения следующим образом:

65 = (2 + i)(3 + 2i) . (2 – i)(3 – 2i) = (4 + 7i) . (4 – 7i) =
= 4 2 + 7 2 = (2 + i)(3 – 2i) . (2 – i)(3 + 2i)=
= (8 – i) . (8 + i) = 8 2 + 1 2 .

По-разному группируя множители, получаем два разных разложения!

Следующий пример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, по- разному группируя множители:

25 = (2 + i) 2 . (2 – i) 2 = (3 + 4i) . (3 – 4i) =
= 3 2 + 4 2 = (2 + i)(2 – i) . (2 + i)(2 – i) =
= 5 . 5 = 5 2 + 0 2 .

Последнийпример — число 5746. Как мы хорошо знаем, всякому представлению 5746 = a 2 + b 2 соответствует разложение 5746 = (a + bi)(a – bi) на сопряженные множители. Поэтому разложим рассматриваемое число сначала на простые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители:

5746 = 2 . 13 2 . 17 = (1 + i)(1 – i)(3 + 2i) 2 (3 – 2i) 2 (4 + i)(4 – i).

Теперь мы должны из нескольких этих множителей составить a + bi, да так, чтобы произведение остальных множителей равнялось a – bi. Этонетрудносделать:

a + bi = (1 + i)(3 + 2i) 2 (4 + i) = -45 + 61i,

a – bi = (1 – i)(3 – 2i) 2 (4 – i) = -45 – 61i.

При этом, разумеется, 45 2 + 61 2 = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти и еще два варианта:

a + bi = (1 + i)(3 + 2i)(3 – 2i)(4 + i) = 39 + 65i

a + bi = (1 + i)(3 – 2i) 2 (4 + i) = 75 – 11i.

Они приводят к представлениям 39 2 + 65 2 = 1521 + 4225 = 5746 и 75 2 + 11 2 = 5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет

Аналогично можно найти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натурального числа

Итак, количество представлений числа m в виде суммы квадратов двух целых чисел равно [((a₁ + 1) . . . (a_r + 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей равно О, то произведение считается равным 1. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, не различаются.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ

Теорема: положительное нечетное число представимо в виде

Число таких представлений равно 2v, где v-число решений сравнения

Доказательство. Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n+5 и 8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v<>0 (не равно нулю). Тогда получаем, что число форм с дискриминантом D=-8, таких, что 0

Сумма квадратов всех целых чисел

Сумма квадратов чисел — математическое выражение, для которого не существует формулы сокращенного умножения. На практике иногда требуется быстро прикинуть сумму нескольких квадратов, однако без математических хитростей такое выражение подсчитать достаточно трудно.

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения расчетов в математике используются специальные формулы сокращенного умножения, которые, по сути, представляют собой частные случаи бинома Ньютона. При помощи таких формул легко вручную подсчитать, например, квадрат суммы или разности вида:

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

Существует множество формул для решения подобных выражений, и дело не ограничивается квадратами. При помощи формул легко подсчитать куб разности или сумму многочленов n-ной степени. Мы легко можем подсчитать даже выражение (a + b + c) 3 , однако формулы сокращенного умножения для простого выражения как:

в учебниках по математике вы не найдете. Естественно, она есть для комплексных чисел, тех самых, с которыми мы знакомимся в университетском курсе математического анализа. Выглядит эта формула достаточно жутко:

a 2 + b 2 = (a + ib) × (a — ib),

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

В школьных примерах продвинутые ребята негласно используют формулу, которая не входит в пантеон формул сокращенного умножения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab.

Эта формула идеально подходит только для вычисления суммы квадратов двух целых чисел. Но что делать, если на практике требуется сложить сумму нескольких квадратов или рациональных чисел? Здесь на сцене появляется наша программа.

Наша программа позволяет сложить сколько угодно квадратов целых и рациональных чисел. Для вычислений вам потребуется ввести числа в ячейку, отделив их пробелом. Десятичные дроби записываются и с точкой, и с запятой. Рациональные числа записываются через / (слэш). Итак, вы можете подсчитать сумму нескольких квадратных чисел, но для чего это вообще нужно?

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

5 и 0 = 25;
1 и 4 = 25;
8 и 1 = 64;
4 и 7 = 64.

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

f 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ,

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Заключение

Сумма квадратов нескольких чисел — нестандартная задача, которая вряд ли встретится в обычных бытовых расчетах, как-то вычисление диаметра дачного ограждения или площади пиццы. Для нетривиальных математических расчетов вам пригодится наша программа, которая быстро вычислит сумму квадратов сколько угодно большого количества целых и рациональных чисел.

Решение формулы суммы квадратов двух чисел

Мамарахмонов Н.М., Мамарахмонов М.Х. Решение формулы суммы квадратов двух чисел // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. № 8(77). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10642 (дата обращения: 29.08.2022).

АННОТАЦИЯ

В настоящей статье нами впервые предложено решение формулы сокращенного произведения, которая может широко применена в решении различных математических задач, равенств и неравенств, а также для упрощения сложных алгебраических выражений, имеющих широкое практическое применение в науке и технике.

ABSTRACT

In this article, we first proposed a solution to the abbreviated product formula, which can be used in solving various mathematical problems, equalities and inequalities, as well as to simplify complex algebraic expressions that have wide practical applications in science and technology.

Ключевые слова: формулы сокращенного произведения, сумма квадратов двух чисел.

Keywords: formulas of short multiplication, sum of squares two numbers.

Известно, что при решении задач во всех разделах математики очень часто используют формулы сокращенного произведения (ФСУ) [1. 163-182, 2. 115, 3. 134]. Эти формулы удачно используются при упрощении сложных математических выражений, при решении алгебраических, тригонометрических уравнений, неравенств, геометрических задач, учебных и научных проблем различной сложности. Ниже приведены официально всем известные ФСУ в табличном виде, из учебников Алгебры для 7 класса:

Таблица 1.

Формулы сокращенного умножения

Формула

Название

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат суммы двух чисел

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Квадрат разности двух чисел

Square of difference

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Куб суммы двух чисел

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

Куб разности двух чисел

Cube of difference

a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )

Сумма кубов двух чисел

a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )

Разность кубов двух чисел

Difference of cubes

a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Разность квадратов двух чисел

Difference of squares

a 2 +b 2 = ?

Сумма квадратов двух чисел (Примечание: не разлагающаяся на члены) [8]

Sum of squares (Note: not expands) [8,10]

Наглядно видно из таблицы 1, что приведенные в ней формулы 1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8 являются формулами-парами, которые отличаются нежели только со знаками у отдельных членов в левой части равенства. Однако, решение для урувнения формулой a 2 +b 2 (8) до настоящего времени ни в официальных источниках, также в учебной и научной литературе не была приведена [1-7]. Тому можно убедиться после ознакомления в электронных интернет учебниках на английском, так и на других языках. В них формула (8) указана как “not expands” – «не разлагающаяся на члены» [8-10]. Также, во всех учебниках для средних образовательных школ по математике, так и в пособиях для ВУЗов Узбекистана, России и Европейских стран, написанные на узбекском, английком, так и на русском языках, формула (8), до настоящего времени обозначается как, “не разлагающаяся на члены”.

В настоящей статье нами впервые предложена конкретное решение для формулы (8), для разложения суммы квадратов двух чисел на многочлены. Она имеет решение следующего вида:

(8)

Доказательство. Результат последовательного произведения многочленов в правой части формулы (8), должны равняться сумме квадратов двух чисел, в левой части равенства. Для этого применяем правила последовательного умножения для многочленов к выражениям в скобках, в правой части равенства:

Примечание. Члены с одинаковыми абсолютными значениями, но с различными знаками взаимно сокращаются, как показано ниже:

;

В результате упрощения получим результат сумму квадратов двух чисел, идентичный, что в левой части равенства a 2 +b 2 .

Конец доказательства.

Предложенная нами формула для суммы квадратов двух чисел (8) является инновационной, новой и имеет в дальнейшем практическое применение как в математике, информатике, ИТ, в точных науках в целом, так и в других отраслях науки и техники.

Разложение числа на сумму квадратов

Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит [1] :

где p — простое число.

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

Содержание

История [ править | править код ]

Доказательства [ править | править код ]

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром [3] :

Также есть доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ [4] .

Формулы сокращенного умножения

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

a 2 + b 2 = (a + ib) × (a — ib),

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab.

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

5 и 0 = 25;
1 и 4 = 25;
8 и 1 = 64;
4 и 7 = 64.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

f 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ,

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Заключение

ru_mathresearch
[ tramsm ]

Каждое целое неотрицательное число можно разложить в сумму из 4 квадратов целых чисел.
Это известное утверждение. Но мне хочется узнать сколькими способами можно разложить в сумму 3 квадратов целых чисел известное мне натуральное число? А может быть известно что-то о распределении чисел, которые не представляются в виде суммы 3 квадратов?

P.S. Я не специалист в теории числе и смежных областях. Поэтому даже не представляю, насколько сложны данные вопросы.

P.S.S. В принципе, мне интересно так же, сколькими способами натуральное число раскладывается в сумму двух квадратов целых чисел. Или хотя бы условия, когда нат. число не раскладывается в сумму 2 квадратов.

Comments:

В виде суммы трех квадратов представимы все числа, кроме имеющих вид 4^k(8n+7) (k,n — целые неотрицательные).

В виде суммы двух квадратов представимы все числа, в разложение которых на простые множители все простые вида 4k+3 входят в четных степенях.

Количество способов представить число в виде суммы двух квадратов есть разность между количеством делителей вида 4n+1 и 4n+3. В виде суммы четырех квадратов — количество делителей, не кратных 4. (В зависимости от того, считать ли перестановки слагаемых за разные представления, появляются множители).

Задача с числом 365 и сумма квадратов чисел

Задача с числом 365

Сумма квадратов чисел — такая задача с числом 365 представлена на картине художника Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», 1895 год.

Ученики 19 века пытаются решить непростую задачу в уме, без помощи подручных средств. Тогда счет в уме или устный счет назывался «умственный».

Богданов Бельский Устный счёт

Николай Петрович Богданов-Бельский «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». (Источник: commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=78997818)

На картине учитель — Сергей Александрович Рачинский, который был биологом, профессором Московского университета, а потом круто изменил свою жизнь. Он основал народную школу для крестьянских детей в своем родовом поместье Татево в Смоленской губернии.

Рачинский придавал большое значение, в частности, устному счету. Его любимая фраза: «С поля за карандашом и бумагой не побежишь. Решать надо умственно».

Калькулятор умеет считать

Сейчас, когда у каждого из нас под рукой есть калькулятор (в компьютере, в телефоне, в часах и в других гаджетах), счет в уме уже не в почете. Зачем? Ведь можно посчитать на калькуляторе.

Однако, не будем торопиться. Чтобы решить любую задачу, нужно ЗНАТЬ, как ее решать? А что мы знаем? Мы знаем, например, как на калькуляторе умножить 10 на 10. Можем умножить 11 на 11, а также 12 на 12 и так далее.

Мы также знаем, что можно поместить во временную память калькулятора результаты подобных умножений – обычно это клавиша калькулятора M+.

Еще мы знаем, как извлечь из памяти результат сложения всех помещенных в нее данных – обычно это клавиша MR. И, наконец, мы умеем делить полученный результат на 365.

Похоже, что нам достаточно тех знаний, которые у нас есть, чтобы решить трудную задачу. Тем не менее, нужно проделать довольно большую работу, и главное, при этом ни разу не ошибиться, чтобы получить верный результат.

Задача на сумму квадратов чисел

Задача с числом 365

Как же иначе решить предложенную задачу, если не выполнить требуемые арифметические действия, например, на калькуляторе? – спросит любой современный человек. Оказывается можно иметь совсем другие знания – это знания о числах. Да, да. Есть такие знания о числах, которые помогают решить некоторые трудные задачи намного проще, чем даже на калькуляторе.

Именно так обстоит дело с числом 365. Это число хорошо нам известно, как число дней в обычном, не високосном году. Имея под рукой калькулятор, можно легко проверить, что число 365 есть сумма квадратов чисел 10, 11 и 12.

10*10 + 11*11 + 12*12 = 100 + 121 + 144 = 365

13*13 + 14*14 = 169 + 196 = 365

То есть, если умножить 10 само на себя, 11 умножить на 11 и 12 умножить на себя, то в сумме эти три числа дадут результат 365. Это мы можем просто знать, не используя никаких подручных средств для вычислений и даже не напрягая нашу память для проведения устного счета, счета в уме. В школе необходимо знать наизусть таблицу умножения. Также зачастую требуется выучить квадраты всех чисел от 1 до 25.

Сумма квадратов чисел 13 и 14

И вот, что интересно. Оказывается, число 365 получается также в результате сложения квадратов еще двух «соседних» чисел 13 и 14. То есть, если умножить 13 само на себя, 14 умножить на 14, а полученные числа сложить, то опять в сумме получим число 365. Налицо необычные свойства числа 365, о которых мы теперь ЗНАЕМ, не применяя вычислений.

10*10 + 11*11 + 12*12 = 365

13*13 + 14*14 = 365

(10*10 + 11*11 + 12*12) + (13*13 + 14*14) = 365 + 365 = 365 * 2

(365*2) / 365 = 2

Какой получается результат в «трудной задаче», приведенной на картине художника? Над дробью мы теперь отчетливо «видим» сумму двух чисел: 365 и 365! Под дробью стоит одно единственное число 365. Если же два слагаемые 365 и 365 разделить на одно число 365, то результат очевиден – это «двойка», то есть 2.

сумма квадратов 365

А Вы попробовали решить эту задачу на калькуляторе? Получился такой же ответ?!

Вот так, безо всякого калькулятора и без напряжения мысли во время устного счета, можно найти решение «трудной задачи», которая оказывается совсем не трудной для тех, кто знает об удивительных свойствах числа 365 – о числе дней в году.

Другая задача на сумму квадратов двух чисел

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа.

Последовательные числа — это те, которые идут по порядку, друг за другом. Например, пары чисел 13, 14 являются последовательными.

Ответ к последней задаче: числа 13 и 14. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел 13 и 14 равна 365.

Научный форум dxdy

x^2+y^2+z^2=n

Поскольку мне не удалось найти ответ в литературе, решил обратиться к народу. В одной физической задаче, которую я сейчас рассматриваю, возникает необходимость найти число целых решений уравнения

Очевидно, что решение существует не для всякого n. Меня интересует, можно ли получить общую формулу в данном случае. В литературе по теории чисел, которую я смотрел, разобраны только суммы двух и четырех квадратов.

Это очевидно. Кроме того, если пользоваться этой формулой, нужно вычесть кол-во комбинаций с одним, двумя и тремя отрицательными числами.

Кроме того, если пользоваться этой формулой, нужно вычесть кол-во комбинаций с одним, двумя и тремя отрицательными числами.

Проще. Если N — это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 — это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

Если N — это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 — это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

Да, но если среди них, например, два или три одинаковых (n=3, n = 17, n = 29), то кол-во возможных расстановок знаков будет другим. И число может допускать представление несколькими разными тройками x,y,z (с разным количеством повторений). Я на данный момент думаю следующее: для каждой из разных троек вычислить сумму перестановок с повторениями при разном кол-ве минусов:
^3 dfrac» />.

4^k(8m + 7)

Просмотрев несколько современных работ по этому вопросу, прихожу к выводу, что в общий случай (для любых n, а не только неквадратных) — одна из нерешенных проблем теории чисел. Максимум, что удалось найти — формула Гаусса (32), критерий неразложимости (тоже не универсальный) и различные асимптотические выражения для n специального вида.

Да, но если среди них, например, два или три одинаковых (n=3, n = 17, n = 29), то кол-во возможных расстановок знаков будет другим.

Тем же. По определению функция учитывает все возможные расстановки знаков и порядки следования слагаемых. Например, , несмотря на то, что все три слагаемые во всех представлениях равны по модулю.

Пусть n не является полным квадратом. Тогда число представлений , где 0$» />, равно $» /> (для полного квадрата надо еще 3 в числителе вычесть).

И число может допускать представление несколькими разными тройками x,y,z (с разным количеством повторений).

Да, поэтому упорядоченные представления подсчитать сложнее.

Пусть равно числу представлений для 0$» /> с k одинаковыми слагаемыми. Очевидно, что равно 1, если n имеет вид , и 0 в противном случае. А вот подсчитать куда как сложнее.

Пусть s(n) равно числу представлений , где 0$» />. Исключая для n случаи полного и утроенного квадрата, получаем, что число представлений , где , равно +s(n)=frac$» />.

Просмотрев несколько современных работ по этому вопросу, прихожу к выводу, что в общий случай (для любых n, а не только неквадратных) — одна из нерешенных проблем теории чисел.

x^2+y^2+z^2=n

Последний раз редактировалось Gordmit 25.01.2007, 01:31, всего редактировалось 2 раз(а).

$x$

Широко известна формула Ландау для количества чисел, представимых суммой двух квадратов и не превосходящих :

1simfrac>$» /> при ,

$$<s_n></p> <p>где _^<infty>$» /> — последовательность чисел, представимых суммой двух квадратов целых чисел, упорядоченная по возрастанию.</p> <p>Возник такой вопрос: а знает ли кто-нибудь вариант этой формулы в виде асимптотической формулы с остаточным членом? Т.е. что-то вроде</p> <p>1=frac<sqrt<ln x>>+O(. )$» /> при ?</p> <p>Я такой формулы нигде не встречал. Существует ли такая формула, может кто видел?</p> <p>В книжке А.Г.Постников «Введение в аналитическую теорию чисел» приведена формула <br />>+Oleft(frac x<sqrt<ln x>lnln x>right),$» /> <br /> — какая-то константа.</p> <h2>Сумма площадей</h2> <p>Сумма квадратов – это статистический метод, используемый в регрессионном анализе для определения разброса точек данных. В регрессионном анализе цель состоит в том, чтобы определить, насколько хорошо ряд данных может быть приспособлен к функции, которая может помочь объяснить, как был создан ряд данных. Сумма квадратов используется как математический способ найти функцию, которая лучше всего соответствует (меньше всего отличается) от данных.</p> <h3>Формула суммы квадратов:</h3> <p><img decoding=$

Сумма квадратов также известна как вариация.

Что вам говорит сумма квадратов?

Сумма квадратов – это мера отклонения от среднего. В статистике среднее значение представляет собой среднее значение набора чисел и является наиболее часто используемой мерой центральной тенденции. Среднее арифметическое вычисляется просто путем суммирования значений в наборе данных и деления на количество значений.

Допустим, цена закрытия Microsoft (MSFT) за последние пять дней составляла 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 и 73,40 в долларах США. Сумма общих цен составляет 369,73 доллара, а средняя или средняя цена учебника, таким образом, составит 369,73 доллара / 5 = 73,95 доллара.

Но знать среднее значение набора измерений не всегда достаточно. Иногда полезно знать, насколько вариативен набор измерений. Насколько далеко отдельные значения отличаются от среднего, может дать некоторое представление о том, насколько наблюдения или значения соответствуют создаваемой регрессионной модели.

Например, если аналитик хотел знать, движется ли цена акций MSFT в тандеме с ценой Apple (AAPL), он может перечислить набор наблюдений за процессом обеих акций за определенный период, скажем 1, 2., или 10 лет и создайте линейную модель с записью каждого из наблюдений или измерений. Если связь между обеими переменными (т. Е. Ценой AAPL и ценой MSFT) не является прямой линией, то в наборе данных есть вариации, которые необходимо тщательно изучить.

В статистике говорят, что если линия в созданной линейной модели не проходит через все измерения стоимости, тогда некоторая изменчивость, которая наблюдалась в ценах акций, необъяснима. Сумма квадратов используется для расчета, существует ли линейная связь между двумя переменными, а любая необъяснимая изменчивость называется остаточной суммой квадратов.

Сумма квадратов – это сумма квадратов вариации, где вариация определяется как разброс между каждым отдельным значением и средним значением. Чтобы определить сумму квадратов, расстояние между каждой точкой данных и линией наилучшего соответствия возводится в квадрат, а затем суммируется. Линия наилучшего соответствия минимизирует это значение.

Как посчитать сумму квадратов

Теперь вы можете понять, почему измерение называется суммой квадратов отклонений или, для краткости, суммой квадратов. Используя наш приведенный выше пример MSFT, сумму квадратов можно рассчитать как:

СС = (74.01 – 73.95) 2 + (74.77 – 73.95) 2 + (73.94 – 73.95) 2 + (73,61 – 73,95) 2 + (73.40 – 73.95) 2
SS = (0,06) 2 + (0,82) 2 + (-0,01) 2 + (-0,34) 2 + (-0,55) 2
СС = 1.0942

Добавление только суммы отклонений без возведения в квадрат приведет к числу, равному или близкому к нулю, поскольку отрицательные отклонения почти полностью компенсируют положительные отклонения. Чтобы получить более реалистичное число, необходимо возвести сумму отклонений в квадрат. Сумма квадратов всегда будет положительным числом, потому что квадрат любого числа, положительного или отрицательного, всегда положительный.

Пример использования суммы квадратов

Основываясь на результатах расчета MSFT, большая сумма квадратов указывает на то, что большинство значений дальше от среднего, и, следовательно, есть большая изменчивость в данных. Низкая сумма квадратов означает низкую изменчивость набора наблюдений.

В приведенном выше примере 1.0942 показывает, что изменчивость курса акций MSFT за последние пять дней очень мала, и инвесторы, желающие инвестировать в акции, характеризующиеся стабильностью цен и низкой волатильностью, могут выбрать MSFT.

Ключевые выводы

Сумма квадратов измеряет отклонение точек данных от среднего значения.
Более высокий результат суммы квадратов указывает на большую степень изменчивости в наборе данных, в то время как более низкий результат указывает на то, что данные не сильно отличаются от среднего значения.

Ограничения использования суммы квадратов

Принятие инвестиционного решения о том, какие акции покупать, требует гораздо большего количества наблюдений, чем перечисленные здесь. Аналитику, возможно, придется работать с данными за годы, чтобы с большей уверенностью узнать, насколько высока или низка изменчивость актива. По мере того, как в набор добавляется больше точек данных, сумма квадратов становится больше, так как значения будут более разбросанными.

Наиболее широко используемые измерения вариации – это стандартное отклонение и дисперсия. Однако для расчета любого из двух показателей сначала необходимо вычислить сумму квадратов. Дисперсия – это среднее значение суммы квадратов (т. Е. Суммы квадратов, деленной на количество наблюдений). Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии.

Существует два метода регрессионного анализа, в которых используется сумма квадратов: линейный метод наименьших квадратов и нелинейный метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов относится к тому факту, что функция регрессии минимизирует сумму квадратов отклонения от фактических точек данных. Таким образом можно нарисовать функцию, которая статистически лучше всего подходит для данных. Обратите внимание, что функция регрессии может быть линейной (прямая линия) или нелинейной (кривая линия).