Что такое сумма углов треугольника

Треугольник. Простейшие соотношения между его углами и сторонами.

Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Тем удивительнее, сколько различных закономерностей можно записать для его углов и сторон.

План урока:

Сумма углов треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через В можно провести прямую a, параллельную АС. При этом прямые СВ и АВ окажутся секущими для двух параллельных прямых:

Известно, что секущие образуют пары накрест лежащие углы, причем они равны. Отметим на рисунке эти пары и обозначим их как ∠1, ∠2, ∠3 и ∠ 4.

Равные углы (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4) отметим одним цветом. Также обозначим ∠АВС как ∠5:

С одной стороны, углы 2, 4 и 5 вместе образуют развернутый угол, то есть их сумма равна 180°:

В результате мы получили, что сумма углов треугольника АВС в точности равна 180°! В итоге мы можем сформулировать следующую теорему:

Задание. В треуг-ке один угол равен 50°, а второй – 60°. Чему равен третий угол этого треуг-ка?

Решение. Обозначим углы треугольника как ∠1, ∠2 и ∠3.

Получили обыкновенное уравнение с одной переменной. Для его решения просто перенесем слагаемые 50° и 60° из левой части в правую:

Задание. Докажите, что у любого треуг-ка есть хотя бы один угол, который не превосходит 60°.

Решение. Докажем это утверждение методом «от противного». Пусть существует такой треуг-к, у которого каждый из углов больше 60°. Это можно записать в виде трех неравенств:

В итоге имеем, что в сумме эти углы больше 180°, а это невозможно. Это противоречие, следовательно, треуг-к с тремя углами, каждый из которых больше 60°, не существует.

Задание. Основанием рав-бедр. ∆АВС является сторона АС. Известно, что ∠В = 40°. Чему равны ∠А и ∠С этого треуг-ка?

Решение. Сначала необходимо вспомнить важное свойство – углы равнобедренного треугольника при его основании равны друг другу. В нашем случае это значит, что ∠А = ∠С:

Задание. Один из углов при основании рав-бедр. треуг-ка равен 50°. Найдите два других угла.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

Отдельного внимания заслуживает равносторонний треуг-к. Напомним, что у него равны все три стороны. Построим его:

Теперь подумаем о том, чему равны его углы. С одной стороны, мы можем рассматривать ∆АВС как рав-бедр. с основанием АС, ведь AB = BC. Тогда∠А = ∠С. Но с другой стороны, всё тот же ∆АВС мы можем одновременно считать и рав-бедр. с основанием АВ, ведь АС = ВС. Из этого следует, что ∠А = ∠С. В итоге получаем, что все три угла ∆АВС равны:

Итак, получили удивительный факт – в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°!

Рассмотрим чуть более сложную задачу, где неизвестен ни один из углов треуг-ка, однако известны некоторые соотношения между ними.

Задание. Первый угол треуг-ка больше второго в 2 раза, а третий равен сумме первых двух углов. Чему равны углы треуг-ка?

Решение. Для большей наглядности примем первый угол треуг-ка за неизвестную величину, то есть за х. Тогда второй угол будет равен 2х, а третий окажется равным их сумме:

Внешние углы треугольника

Построим некоторый треуг-к, а потом продлим одну из его сторон. На рисунке мы продлили сторону АС. В результате образуется угол, который называют внешним углом треугольника:

На рисунке видно, что ∠ВСD является внешним. Но одновременно можно утверждать и ещё один факт – углы ∠АСВ и ∠ВСD являются смежными. Это позволяет нам дать следующее определение:

В итоге мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуг-ка, которые с ним не смежны.

Задание. У ∆АВС ∠А = 50°, ∠В = 75°. Найдите величину внешнего угла, смежного с ∠С.

Решение. В данном случае, согласно доказанному нами правилу, достаточно просто сложить ∠А и ∠B:

Рассмотрим ещё несколько более тяжелых задач.

Задание. В ∆АВС проведены биссектрисы угловА и B. Они пересекаются в точке М. Известно, что ∠А = 58°, ∠B = 96°. Найдите ∠АМB.

Решение. Устно такую задачу не решить, поэтому построим рисунок:

АМ – это биссектриса, а она разбивает∠ВАС на два равных угла. Поэтому мы можем вычислить ∠ВАМ:

Отметим найденные углы на рисунке:

Обратите внимание на ∆АВМ, который выделен красным цветом. Теперь мы знаем два угла в нем. Значит, можно найти и третий! Запишем для ∆АВМ сумму его углов:

Задание. Построен внешний угол равнобедренного треугольника, который смежен с вершиной, лежащей против основания. Далее построили биссектрису этого внешнего угла. Докажите, что эта биссектриса будет параллельна основанию.

Решение. Выполним построение:

Пусть АС – это основание рав-бедр. ∆АВС. Тогда внешний угол должен быть проведен к вершине В, ведь именно она лежит против основания. Обозначим внешний угол как ∠СВD (для этого мы просто добавили точку Dна продолжение отрезка АВ). Далее проводим биссектрису ВК. Нам требуется доказать, что ВК||АС.

Поступим очень просто – обозначим неизвестную нам величину угла при основании как х. То есть

В результате мы получили, что и ∠С, и ∠CBK равны х, то есть они равны и друг другу. Однако эти углы являются накрест лежащими для прямых АС и ВК и секущей ВС. Из равенства накрест лежащих углов следует, что АС||ВК.

Задание. В ∆АВС проведена медиана АМ, причем ее длина равна ВМ. Найдите ∠А.

Решение. Напомним, что медиана – это прямая, разбивающая сторону на два равных отрезка. То есть ВМ = МС. По условию АМ = ВМ, значит, имеет место двойное равенство:

Посмотрите на рисунок – здесь есть сразу два рав-бедр. треуг-ка! Это ∆АВМ (с основанием АВ) и ∆АМС (с основанием АМС). Обозначим∠В как х, а ∠С – как у. Углы при основании рав-бедр. треуг-ков одинаковы, а потому

Сравнение сторон и углов треугольника

Докажем следующую теорему:

Построим ∆АВС, в котором сторона АВ будет длиннее, чем АС. Нам надо доказать, что ∠С >∠B:

Выполним дополнительное построение – отметим на прямой АВ такую точку D, что AD = АС. Точка D будет располагаться на отрезке АВ, ведь АВ больше АС, а, значит, и больше АD. Также соединим C и D отрезком:

Теперь рассмотрим ∆ADC. Он является рав-бедр., ведь AD = AC. Из этого следует, что ∠ADC = ∠ACD.

Можно заметить, что ∠АDС является внешним углом для ∆BDC. Это значит, что

Мы доказали только первую часть теоремы. Теперь надо доказать обратное утверждение – против большего угла находится большая сторона треугольника. Предположим обратное, что существует ∆АВС, в котором ∠С>∠B, но не выполняется условие АВ >AC. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ AC.

Задание. В ∆АВС известны углы:

Запишите стороны этого треуг-ка в порядке возрастания.

Решение. Всё очень просто – чем больше сторона, тем против большего угла она лежит. Поэтому самая большая сторона – это АВ, вторая по длине – АС, а наименьшая сторона – ВС. То есть BС

Доказанная теорема помогает сформулировать важный признак рав-бедр. треуг-ка:

Действительно, против равных углов должны лежать равные стороны, в противном случае сложится ситуация, когда в треуг-ке против сторон разной длины будут лежать равные углы, что невозможно.

Задание. В рав-бедр. ∆АВС основанием является АС. Из точек А и С проведены биссектрисы, которые пересеклись в точке О. Докажите, что ∆АОС также является рав-бедр.

Ясно, что ∠ВАС = ∠ВСА, так как это углы при основании рав-бедр. ∆АВС. С другой стороны, ∠ОАС равен половине ∠ВАС, ведь АО – биссектриса:

В итоге имеем, что ∠ОАС и ∠АСО равны. Но тогда в ∆АОС есть два одинаковых угла, а потому он является рав-бедр. (АО = ОС).

Неравенство треугольника

Следующая важная теорема называется неравенством треугольника:

Попробуем доказать неравенство треугольника. Возьмем произвольный ∆АВС и покажем, что сторона АВ меньше, чем величина ВС + АС. Для этого «дорисуем» к отрезку АС ещё один отрезок СD, равный BC, при этом АС и СD должны лежать на одной прямой:

Получается, что в ∆АВD сторона АВ лежит против меньшего угла по сравнению со стороной АD. Значит, эта сторона должна быть меньше АD, что мы и пытаемся доказать.

Доказанная теорема означает, что не всякий треуг-к можно построить по его сторонам. Так, у нас никогда не получится построить треуг-к, у которого стороны равны 2, 3 и 7 см, так как одна из этих длин больше, чем сумма двух других:

Верно обратное утверждение – если все заданные длины удовлетворяют неравенству, то треуг-к построить можно.

Задание. Известны две стороны равнобедренного треугольника, они равны 25 и 10 см. Какая из них является основанием?

Решение. Рассмотрим сперва случай, когда основание равно 25 см. Тогда две другие стороны имеют длину 10 см. Их сумма (10 см + 10 см = 20 см) меньше основания. Такая ситуация невозможно из-за неравенства треуг-ка.

Ситуация же, при которой основание имеет длину 10 см, вполне допустима. Тогда две другие стороны равны 25 см, и для каждой стороны неравенство треуг-ка выполняется:

Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.

Содержание

Доказательство

Пусть ABC’ — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Следствия

Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Обобщение в симплекс теории

-1 & cos L_ & cos L_ & dots & cos L_ \ cos L_ & -1 & cos L_ & dots & cos L_ \ cos L_ & cos L_ & -1 & dots & cos L_ \ vdots&vdots & vdots & ddots&vdots& \ cos L_ & cos L_ & cos L_ & dots & -1 \ end = 0″ width=»» height=»» />,где » width=»» height=»» /> -угол между i и j гранями симплекса.

Примечания

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника.
• В плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Разность также пропорциональна площади треугольника.

См. также

• Геометрия треугольника
• Теоремы

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Теорема о сумме углов треугольника» в других словарях:

Теорема о сумме углов многоугольника — Свойство многоугольников в евклидовой геометрии: Сумма углов n угольника равна 180°(n 2). Содержание 1 Доказательство 2 Замечание … Википедия

Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия

Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника … Википедия

Пифагора теорема — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства … Википедия

Косинусов теорема — Теорема косинусов обобщение теоремы Пифагора. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α… … Википедия

Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

Признаки равенства треугольников — Стандартные обозначения Треугольник простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника … Википедия

Евклид — древнегреческий математик. Работал в Александрии в III в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов,… … Энциклопедический словарь

ЕВКЛИД — (умер между 275 и 270 до н. э.) древнегреческий математик. Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I… … Большой Энциклопедический словарь

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера

Треугольник — основные понятия, свойства и признаки

На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку. Что мы и сделали.

Но книжку целиком читать слишком долго, правда?

Поэтому мы сначала рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника.

Все это ты найдешь здесь. Но читай книжку по кусочкам, чтобы не «поперхнуться» 🙂

Треугольник — коротко о главном

Определение треугольника:

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные понятия:

• ( displaystyle angle 1), ( displaystyle angle 2), ( displaystyle angle 3) – внутренние углы ( displaystyle triangle ABC)
• Внешний угол треугольника – угол, смежный внутреннему углу треугольника, т.е. ( displaystyle angle 4) и ( displaystyle angle 5) – внешние углы ( displaystyle triangle ABC) при вершине ( displaystyle C).

Основные свойства:

Сумма внутренних углов любого треугольника равна ( displaystyle 180<>^circ ), т.е. ( displaystyle angle 1+angle 2+angle 3=180<>^circ )

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е. ( displaystyle angle 4=angle 1+angle 2) или ( displaystyle angle 5=angle 1+angle 2)

Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны, т.е. ( displaystyle beginAB+BC>AC\AB+AC>BC\AC+BC>ABend)

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е.

если ( displaystyle angle 2>angle 1), то ( displaystyle AC>BC), и наоборот,

если ( displaystyle AC>BC), то ( displaystyle angle 2>angle 1).

Признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними

2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.

3. Третий признак – по трём сторонам.

Сумма углов треугольника. Внутренние и внешние углы

Внутренние углы треугольника

Сумма внутренних углов любого треугольника равна ( displaystyle 180<>^circ ).

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника.

А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают.

У треугольника ещё бывают внешние углы.

И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна ( displaystyle 180<>^circ ), касается как раз внешнего треугольника.

Внешние углы треугольника

Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем ( displaystyle AC)) продолжаем.

Видишь, получился новый угол, ( displaystyle angle BCE)?

Этот угол образован одной стороной (( displaystyle BC)) треугольника и продолжением другой стороны (( displaystyle AC)).

Вот он и называется внешним углом треугольника ( displaystyle ABC) при вершине ( displaystyle C).

Конечно, мы бы могли оставить сторону ( displaystyle AC), а продолжить сторону ( displaystyle BC). Вот так:

Тогда ( displaystyle angle ACK) тоже будет внешним углом при вершине ( displaystyle C), да и к тому же он будет равен углу ( displaystyle BCE).

Углы ( displaystyle BCE) и ( displaystyle ACK) – равны как вертикальные, и оба они имеют право называться внешним углом при вершине ( displaystyle C).

А вот про угол ( displaystyle ECK) такого сказать ни в коем случае нельзя!

Он образован пересечением двух продолжений сторон!

Угол ( displaystyle ECK) вообще равен внутреннему ( displaystyle angle C) треугольника ( displaystyle ABC).

Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Смотри, на нашем рисунке это означает, что ( angle 4=angle 1+angle 2).

Как же это связано с суммой углов треугольника?

Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна ( displaystyle 180<>^circ Rightarrow )

( angle 1+angle 2+angle 3=180<>^circ ),

но ( angle 4+angle 3=180<>^circ ) – потому, что ( angle 3) и ( angle 4) – смежные.

Ну вот и получается: ( angle 4=angle 1+angle 2).

Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:

Сумма внутренних углов треугольника равна ( 180<>^circ ), а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Это означает, что:

• ( a+b>c)
• ( a+c>b)
• ( b+c>a)

Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?

Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей.

И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного ( 100) м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея ( 200) метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж ( 500) м по прямой».

Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»

Так не может быть!

Да потому что если от Коли до Пети ( 100) м, а от Пети до Сергея ( 200) м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше ( 300) (( =100+200)) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.

Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой (( КС)) должен быть короче, чем путь с заходом в точку ( П). (( К-П-С)).

Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами ( 1,3,7)?

Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: ( 1+3

• ( 2+5>4)
• ( 2+4>5)
• ( 4+5>2)

Равенство треугольников

Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:

Два треугольника равны, если они совпадают при наложении.

Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?!

Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников, которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.

Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много-много-много слов, которые будeт доказывать, что два треугольника совпадут при наложении.

Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил – треугольники совпадают при наложении» – тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.

Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки – их легче запомнить и применять:

1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними;
2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне;
3. Третий признак – по трём сторонам.

Типы треугольников (прямоугольный, равнобедренный, равносторонний) и другая теория по треугольникам

В этом разделе ты сможешь ознакомиться со всем, что касается треугольников и закрыть эту тему полностью!

Просто переходи по ссылкам:

Бонусы: Вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

В этом разделе вы найдете несколько вебинаров из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике.

От самого простого (но важного!) на площадь фигур на клетчатой бумаге, до сложного 16 задания ЕГЭ на доказательство подобия треугольников (по которому максимальный балл получают менее 1% учеников!

Выбирайте вебинар по силам и учитесь решать задачи!

ЕГЭ 3. Площадь фигур на клетчатой бумаге

Клетчатая бумага очень удобная для геометрии. В основном тем, что на ней очень легко рисовать прямые углы.

А если прямой угол достроить к какому-то отрезку, то получится прямоугольный треугольник. А для прямоугольного треугольника можно записать теорему Пифагора — и вот уже мы определили длину нашего отрезка.

И хотя в 2021 году задача на геометрию на клечатой бумаге не будет входить в ЕГЭ, она очень полезна для того, чтобы начать изучать геометрию, для понимания планиметрии.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так.

Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ.

Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты.

Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в достоверности утверждении из прошлого урока о прямоугольных треугольниках https://youtu.be/ZKGTVfaiGe8) — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 6, 14, 16. Теорема косинусов и синусов

Универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов. Они подходят для любых треугольников, а не только для прямых (как теорема Пифагора).

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников для расчетных задач (не только для доказательств).

Что такое сумма углов треугольника

Совершенно нормальный вопрос при изучении геометрии: «Почему именно такой нестандартный чертеж?! Боковой стороной?»

Располагать треугольник на чертеже боковой стороной — нетипичная практика. Обычно мы рисуем эту фигуру по принципу его геометрического значка — $bigtriangleup$. Однако допустите мысль, что теоремы об углах при параллельных таки навели вас на мысли, чему может равняться сумма углов треугольника. Что бы вы сделали первым делом при чертеже к доказательству?

Расположили бы треугольник таким образом, чтобы его стороны «играли роль» потенциальных секущих, а третья сторона — «роль» одной из возможных параллельных прямых.

Так что подобный чертеж — попытка сразу «подогнать» ситуацию к удобному графическому использованию уже ранее доказанных теорем. Это — геометрическая сноровка. Так что не переживайте, если иногда кажется, что IQ рисовавшего чертеж уж слишком переваливает за 300… Сноровка вырабатывается со временем. Практикуйтесь и вы сможете так же!

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника. У любого треугольника хотя бы два угла являются острыми.

Напомним, что острым считается угол меньше $90^circ$. Исходя из того, что сумма углов треугольника — всегда $180^circ$, логично заключить невозможность наличия в треугольнике двух тупых углов. Сумма двух тупых углов всегда больше $180^circ$. А это противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Виды треугольников

Веточка «из одного $rightarrow$ в другое» продолжается. С опорой на следствие из теоремы о сумме углов треугольника про виды треугольников можно сказать следующее:

• есть треугольник с одним тупым углом, двумя другими острыми;
• также треугольник, где все углы острые;
• есть «пограничный» треугольник, где один угол — ровно $90^circ$.

Как видите, в евклидовой геометрии виды треугольников по параметру величины углов не так уж разнообразны. Всего три, ибо сумма углов всегда постоянна. Другое дело неевклидова геометрия, где бывают треугольники со «странными» углами.

Эти странные углы в сумме дают как меньше $180^circ$, так и больше $180^circ$ — там всякое встречается. Да-а-а… Кстати, про одну из таких геометрий мы кое-что интересное рассказывали ранее. Можете ознакомиться.

Треугольник, в котором один угол тупой, остальные острые, называется тупоугольным. Посмотрите на чертеж треугольника $bigtriangleup$. В нем $angle$ является тупым, $angle$ и $angle$ — острыми.

Треугольник, в котором все углы являются острыми, называется остроугольным. Например, посмотрите на треугольник $bigtriangleup$. Все углы в нем — $angle$, $angle$, $angle$ — меньше $90^circ$.

Треугольник, в котором присутствует угол со значением ровно $90^circ$, называется прямоугольным. Потому что угол, равный $90^circ$, в геометрии называется прямым. На чертеже-примере в треугольнике $bigtriangleup$ такой угол представляет $angle$.

Углы равностороннего треугольника

Следствие к равностороннему треугольнику. Все углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют $60^circ$.

Теорема о сумме углов треугольника приводит нас к еще одному следствию. По теореме о равнобедренном треугольнике известно, что против равных сторон лежат равные углы. В равностороннем треугольнике — частном случае равнобедренного — равны все стороны.

Следовательно в изображенном выше равностороннем $bigtriangleup$:

Сумма углов треугольника: практика!

Задача. Один из углов равнобедренного треугольника равняется $70^circ$. Чему равняются остальные углы? Имеет ли данная задача больше одного решения?

Решение

«Один из углов…» — в условии не уточняется, какой именно. Угол может быть как при основании, так и при вершине. При основании слева или справа — не важно, так как треугольник равнобедренный. У него углы при основании равны. Поэтому на второй вопрос отвечаем сразу: да, задача имеет два решения.

1. Предположим, что данные приводятся для угла при основании. Значит, еще один угол при основании также равняется $70^circ$. Теорема о сумме углов треугольника «подсказывает», что угол при вершине равен разнице между $180^circ$ и суммой углов при основании. Тогда угол при вершине равен $40^circ$.

2. С другой стороны, предполагаем, что данные приводятся для угла при вершине. По теореме о сумме углов треугольника получаем: $180^circ-70=110^circ$. Последнее — сумма углов при основании равнобедренного треугольника. Они равны, откуда получаем, что каждый равняется по $55^circ$.

Ответ: $70^circ,~40^circ$ или $55^circ,~55^circ$.

Задача для самостоятельного решения

Образавр предупреждает: задача может показаться непростой. Это только кажется.

В треугольнике $bigtriangleup$ медиана $BD$ равна половине стороны $AC$. Чему равняется $angle$ треугольника?

Основные факты о треугольниках

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от (0^circ) до (180^circ) включительно.

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Теорема

Смежные углы (alpha) и (beta) в сумме дают (180^circ) .

Вертикальные углы равны: (alpha=gamma) .

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ) .

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом (90^circ) .

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) накрест лежащие углы равны: (angle 1=angle 2) , то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) сумма односторонних углов (angle 1) и (angle 3) равна (180^circ) , то такие прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) соответственные углы равны: (angle 1=angle 4) , то такие прямые параллельны.

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна (180^circ) .

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна (180^circ) .

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (ABC) и покажем, что (angle A + angle B + angle C = 180^circ) .

Проведём через вершину (B) прямую (a) , параллельную стороне (AC) .

Углы (1) и (4) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (AC) секущей (AB) , а углы (3) и (5) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (BC) . Поэтому [begin &angle 4 = angle 1, angle 5 = angle 3. qquad qquad qquad (1) end]

Очевидно, сумма углов (4, 2) и (5) равна развёрнутому углу с вершиной (B) , то есть (angle 4 + angle 2 + angle 5 = 180^circ) . Отсюда, учитывая равенства ((1)) , получаем: (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) .

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: (angle BCD=angle BAC+angle ABC) .

Доказательство

Угол (4) – внешний угол треугольника, смежный с углом (3) . Так как (angle 4 + angle 3 = 180^circ) , а по теореме о сумме углов треугольника (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) , то (angle 4 = angle 1 + angle 2) , что и требовалось доказать.

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть (ABC) – равнобедренный треугольник, (AB = BC) , (BD) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники (ABD) и (BCD) : (AB = BC) , (angle ABD = angle CBD) , (BD) – общая. Таким образом, (triangle ABD = triangle BCD) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что (AD = DC) , следовательно, (BD) – медиана.

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а (AB = BC) , следовательно, [begin &angle ADB = angle CDB, qquad qquad qquad (2) end] но (angle ADB + angle CDB = angle ADC) – развёрнутый, следовательно, (angle ADB + angle CDB = 180^circ) , откуда при учёте ((2)) : (angle ADB = 90^circ = angle CDB) , то есть (BD) – высота.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису (BD) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда (triangle ABD=triangle CBD) по первому признаку, следовательно, (angle A=angle C) .

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ) .

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла (30^circ) , равен половине гипотенузы.

Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла (30^circ) .

Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Вместе с образовательным порталом «Школково» выпускники смогут качественно подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Вся базовая теория о равнобедренных и прямоугольных треугольниках систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом богатого опыта в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает определенные затруднения.

Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, учащимся, проживающим в Москве и других городах России, необходимо не только повторить теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Задачи по данной теме вы можете найти в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут научиться применять на практике теоремы равенства треугольников и другую теорию, которую необходимо усвоить при подготовке к ЕГЭ. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.

По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, выпускник может в дальнейшем вернуться к заданию, которое вызвало затруднения, и обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Основные свойства

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Равенство треугольников

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Подобие треугольников

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Два треугольника подобны, если:

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
• Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
• Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Медианы треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

• Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
• Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Биссектрисы треугольника

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Длина биссектрисы угла А :

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Высоты треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Серединные перпендикуляры

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Расположение центра описанной окружности

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Равносторонний треугольник

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

• одному острому углу;
• из пропорциональности двух катетов;
• из пропорциональности катета и гипотенузы.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты:

через катет и острый угол:

через гипотенузу и острый угол:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Вневписанные окружности

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О₁ , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО₁ и C О₁ внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О₁О₂О₃ (точки A , B и C – основания высот в Δ О₁О₂О₃ ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О₁ , 180°–2 О₂ , 180°–2 О₃ .

Радиус окружности, описанной около Δ О₁О₂О₃ , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О₁О₂О₃ .

Если r_a , r_b , r_с – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для r –

для R –

для S –

для самих r_a , r_b , r_с –

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

• если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ < 0);
• если c 2 < a 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ >0 );
• если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Геометрия 7 класс. Урок№36. Сумма углов треугольника.

Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.

Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.

Сформулируем эту теорему.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Проведем через вершину В прямую а ║АС.

∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Что и требовалось доказать.

Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).

∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.

Что и требовалось доказать.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.

По углам треугольник может быть:

‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);

‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);

‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).

В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.

Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°

∠А + ∠С = 180 – 90° = 90°

Что и требовалось доказать.

Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.

Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.

Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.

∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.

Что и требовалось доказать.

Материал для углублённого изучения темы.

Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.

Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.

Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.

Разбор заданий тренировочного модуля

1. Чему равна градусная мера углаА, если треугольник АВС прямоугольный?

По условию, ∆АВС – прямоугольный → сумма его острых углов равна 90°.

2. По рисунку найдите угол N треугольника FNA.

По рисунку ∠NAP= 140°, этот угол внешний к углу А треугольника FNA→

∠NAP = ∠N +∠F= 140° (т.к. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним).