Что такое сумма коэффициентов

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Сегодня мы детально разберём Бином Ньютона. Это формула, по которой можно раскрыть скобки $<^>$ и получить готовый многочлен. Сама формула выглядит так:

где $C_^$ — биноминальные коэффициенты (они же — «число сочетаний из $n$ по $k$»), которые считаются по формуле

Вот и всё. На этом можно было бы закончить, но есть одно но: большинство начинающих учеников не понимают эту формулу, не умеют пользоваться её, а уж чтобы доказать её — об этом даже речи не идёт.

Сегодня мы всё это исправим. Вы узнаете буквально всё, что нужно знать про Бином Ньютона:

— в чём вообще проблема? — что значат все эти значки? — чрезвычайно полезный материал для всех, кто хочет понять математику. — минутка комбинаторики. — лайфхак для быстрых вычислений. — для тех, кто хочет познать Истину.:)

Материала много, но всё будет максимально понятно и — главное — чрезвычайно полезно. Погнали!

1. Постановка задачи

Итак, мы хотим быстро раскрывать скобки в конструкциях вида $<^>$. Начнём с того, что мы и так знаем. Например:

Спасибо, кэп. Теперь вспомним формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы:

Видим, что с ростом степени растёт и количество слагаемых-одночленов: их всегда на одно больше, чем степень. Но это не проблема. Проблема в другом: у этих одночленов появляются некие коэффициенты, принцип вычисления которых не ясен. Пока не ясен.

Именно для нахождения этих коэффициентов придумали бином Ньютона.

2. Бином Ньютона

В этой формуле прекрасно всё. Одних пугает знак суммы. Другие не понимают, что за $C_^$ такое (ещё раз: это объект из мира комбинаторики, читается «число сочетаний из $n$ по $k$»). Третьи более-менее понимают, о чём речь, но применить эту формулу на практике не могут.

Сегодня мы решим все эти проблемы. Начнём со знака суммы.

3. Знак суммы

Знак суммы — это краткая запись суммы нескольких однотипных слагаемых:

Формула $fleft( k right)$ задаёт общий вид однотипных слагаемых, а нижний и верхний индексы $k=a$ и $k=b$ (сверху вместо $k=b$ обычно пишут просто $b$) определяют диапазон значений, которые «пробегает» $k$ и которые нужно подставить в $fleft( k right)$. Например:

[sumlimits_^=2cdot 3+2cdot 4+2cdot 5]

Более привычный формат:

То же самое с индексами:

Обратите внимание: если $k$ пробегает значения от $k=a$ до $k=b$, то всего таких слагаемых будет ровно $b-a+1$:

Кроме того, полезно потренироваться и с обратным переходом — от полной записи к краткой:

В приложении к уроку — куча задач для самостоятельной тренировки.

Но вернёмся к биному Ньютона. Распишем его без знака суммы:

4. Биноминальные коэффициенты

Определение. Число сочетаний из $n$ по $k$ — это число способов, которыми можно выбрать $k$ элементов среди $n$ элементов, если порядок выбора не имеет значения. Обозначается $C_^$ и считается по формуле

[C_^=frac]

Обратите внимание: в числителе и знаменателе стоят факториалы. Стандартное определение: $n!$ — это произведение всех чисел от единицы до $n$:

[n!=1cdot 2cdot 3cdot . cdot n]

У факториалов много интересных свойств. Чуть позже мы рассмотрим их и даже введём более корректное определение самого факториала. А пока просто потренируемся считать биноминальные коэффициенты.

Пример. На пруду плавают 5 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?

Очевидно, порядок кормления уток неважен. Покормить сначала утку №1, а затем №2 — это то же самое, что покормить сначала утку №2, затем №1. Результат один и тот же: накормлены лишь эти две утки, а остальные три — нет. Поэтому считаем $C_^$:

[begin C_^ & =frac \ & =frac= \ & =10 end]

Вот и всё. Однако при больших $n$ и $k$ посчитать число сочетаний напрямую становится затруднительно. Тут на помощь приходит сокращение дробей.

Пример. На пруду 150 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?

Порядок вновь неважен, просто уток стало больше. Поэтому считаем $C_^$:

[begin C_^ & =frac= \ & =frac= \ & =frac= \ & =11175 end]

Видим, что факториалы образуют «длинные хвосты» в числителе и знаменателе, которые легко сокращаются. Однако для корректной работы с биномом Ньютона нам потребуется расширить определение факториала.

4.1. Новое определение факториала

Стандартное определение мы уже привели выше:

[n!=1cdot 2cdot 3cdot . cdot n,quad nin mathbb]

Но как посчитать, например, факториал нуля? И как сокращать «длинные хвосты», не расписывая факториалы? Здесь нам поможет более грамотное определение.

Определение. Пусть $nin mathbbbigcup left< 0 right>$ — целое неотрицательное число. Тогда факториал считается по формуле:

[n!=left < begin& 1,quad n=0 \ & ncdot left( n-1 right)!,quad n gt 0 \ end right.]

В частности, $0!=1$ по определению.

А вот ещё парочка весёлых примеров:

5. Треугольник Паскаля

Посчитаем бином Ньютона для $n=0$, $n=1$, $n=2$, $n=3$:

[begin 1 \ 1quad 1 \ 1quad 2quad 1 \ 1quad 3quad 3quad 1 \ 1quad 4quad 6quad 4quad 1 \ end]

Получили треугольник, который в народе называют «Треугольник Паскаля»: по бокам единицы, а внутри каждое число равно сумме двух ближайших, стоящих этажом выше:

И это не случайность. Перед нами важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, которое мы оформим в виде теоремы и докажем.

Теорема. Биноминальные коэффициенты вычисляются по формуле

[C_^+C_^=C_^]

Доказывается напролом.

Распишем доказательство детально:

Заметим, что по определению факториала

[begin & left( k+1 right)!=left( k+1 right)cdot k! \ & left( n-k right)!=left( n-k right)cdot left( n-k-1 right)! end]

Поэтому знаменатели биноминальных коэффициентов можно переписать:

Приведём к общему знаменателю:

Теорема доказана. Теперь мы знаем, как формируется треугольник Паскаля. Осталось доказать сам Бином Ньютона.

6. Доказательство Бинома Ньютона

Итак, нужно доказать, что

где $C_^$ — биноминальные коэффициенты с теми чудесными свойствами, которые мы рассмотрели и доказали выше.

Будем доказывать по индукции.

6.1. База индукции

Рассмотрим $n=1$. Формула Бинома Ньютона для него:

Очевидно, для $n=1$ формула верна. Переходим к индуктивному предположению.

6.2. Индуктивное предположение

Пусть Бином Ньютона верен для некоторого $n=t$:

Используя этот факт, докажем верность и для $n=t+1$, т.е. выполним индуктивный переход.

6.3. Индуктивный переход

Докажем, что бином Ньютона верен для $n=t+1$:

Для этого сначала заметим, что

Однако согласно индуктивному предположению, $<^>$ допускает разложение по Биному Ньютона, поэтому

Запишем отдельно первое слагаемое первой суммы и учтём, что $C_^=C_^=1$:

И последнее слагаемое последней второй суммы и учтём, что $C_^=C_^=1$:

Сейчас будет самая нетривиальная операция. Меняем индекс суммирования в последней сумме: выполняем подстановку $k=m-1$. При этом меняются и пределы суммирования:

[left[ begin k & =m-1 \ k & =0Rightarrow m=1 \ k & =t-1Rightarrow m=t \ k+1 & =m \ t-k & =t+1-m \ end right]]

В итоге последняя сумма перепишется так:

Объединяем суммы вместе:

Заметим, что два знака суммы различаются лишь названием индекса и биноминальными коэффициентами. Всё остальное — диапазоны суммирования, степени буквы $a$ и буквы $b$ — всё идеально совпадает и никак не меняется, если написать вместо $k$ индекс $m$ или наоборот.

Такие суммы можно записать под единым знаком:

Выражение под знаком суммы легко раскладывается на множители:

Здесь в последнем шаге мы использовали свойство биноминальных коэффициентов, доказанное выше:

Или, что то же самое

Таким образом, всю сумму можно переписать более компактно, а затем внести под знак суммы первое и последнее слагаемое:

Сопоставляя исходное выражение и конечное, получим

Именно это и требовалось доказать. Следовательно, исходная формула Бинома Ньютона верна.

Химические уравнения

Из этой статьи вы узнаете, что такое химические уравнения, зачем они нужны и как их составлять, а также вспомните классификацию химических реакций — все это, конечно, с примерами уравнений.

О чем эта статья:

Химическое уравнение — это условная запись химического превращения с помощью химических формул и математических знаков

При составлении химических уравнений используют математические знаки «+», «−», «=», а также числа — они выступают в качестве коэффициентов и индексов.

Коэффициенты показывают число частиц (атомов или молекул), а индексы — число атомов, которые входят в состав молекулы.

Химическую реакцию можно изобразить в виде схемы:

На схеме протекание реакции представлено нагляднее, но сложные химические процессы изобразить таким способом сложно. Поэтому их записывают в виде химического уравнения.

Вещества, которые вступают в реакцию, называют исходными веществами, или реагентами. Вещества, которые образуются в результате, называют продуктами реакции.

Давайте разберем этот пример химического уравнения. Здесь видно, что из двух молекул водорода и одной молекулы кислорода образуются две молекулы воды. Реагенты в данном случае — водород и кислород, продукт реакции — вода.

Новые вещества образуются вследствие перегруппировки исходных атомов. В результате химической реакции атомы химических элементов никуда не исчезают и не возникают новые, их число остается неизменным — это следует из закона сохранения массы веществ.

Закон сохранения массы веществ лежит в основе химии и используется при составлении уравнений химических реакций.

Алгоритм составления уравнения химической реакции

Рассмотрим, как составлять уравнения химических реакций, на примере взаимодействия магния и кислорода с образованием оксида магния.

Записываем химические формулы исходных веществ в левой части уравнения. Напоминаем: молекулы H₂, N₂, O₂, F₂, Cl₂, Br₂, I₂ двухатомны. Между исходными веществами ставим «+», а затем знак «=».

После знака равенства записываем химическую формулу продукта. Химическую формулу необходимо составить с учетом валентностей химических элементов.

Согласно закону сохранения массы веществ, число атомов каждого химического элемента до и после реакции должно быть одинаковым. Давайте посмотрим, как расставлять коэффициенты в химических уравнениях, чтобы закон выполнялся.

Из составленной химической реакции видно, что количество атомов магния слева и справа от знака равенства одинаково, но атомов кислорода слева два, а справа один.

Чтобы уравнять число атомов в химическом уравнении, находим наименьшее общее кратное (НОК), в нашем случае — 2. А затем делим НОК на количество атомов кислорода в реагентах и полученное число записываем в виде коэффициента.

Коэффициент 1 в уравнении химической реакции не указывается, но при подсчете суммы коэффициентов в уравнении его необходимо учитывать.

Проверим количество атомов магния до и после знака «=». Если перед химической формулой уже стоит коэффициент, то для подсчета количества атомов необходимо умножить коэффициент на индекс, который относится к этому химическому элементу.

Чтобы уравнять количество атомов магния в химической реакции, посчитаем НОК и разделим его на количество атомов с каждой стороны от знака «=». Результат деления и будет являться коэффициентом (повторяем расстановку коэффициентов в химическом уравнении из 3-го пункта).

Получаем уравнение химической реакции, в котором в исходных веществах и продуктах реакции по 2 атома магния и кислорода.

Сумма коэффициентов в этом химическом уравнении равна 5 (2 + 1 + 2 = 5).

Коэффициенты, которые стоят в химическом уравнении перед веществами, указывают на мольное соотношение исходных веществ и продуктов реакции, по которому и производятся расчеты.

Типы химических реакций

Химические реакции можно классифицировать по различным признакам:

По числу и составу исходных веществ и продуктов реакции.

По изменению степени окисления.

По тепловому эффекту.

По агрегатному состоянию.

По наличию или отсутствию катализатора.

По числу и составу исходных веществ и продуктов реакции

По этому признаку выделяют 4 типа реакций: реакции соединения, реакции разложения, реакции замещения и реакции обмена.

Реакции соединения — это реакции, в результате которых из нескольких более простых веществ образуется одно более сложное.

Например, простые вещества барий и кислород взаимодействуют с образованием сложного вещества оксида бария:

Также к реакциям соединения относится взаимодействие оксида натрия с водой с образованием более сложного вещества гидроксида натрия. Оно более сложное, так как состоит уже из трех атомов химических элементов, в отличие от веществ-реагентов, которые состоят из двух атомов:

Реакции разложения — это реакции, в результате которых из одного более сложного вещества образуется несколько более простых веществ. Является процессом, обратным реакции соединения.

Пример такой реакции — разложение нитрата серебра на несколько более простых веществ: серебро, оксид азота (IV) и кислород.

Стрелка вверх означает, что получившееся вещество является газом, который покидает место проведения реакции и больше не участвует в ней.

Реакции замещения — это такие реакции, в результате которых атомы простого вещества замещают атомы одного химического элемента в сложном веществе. Также возможно замещение функциональных групп в сложном веществе.

Например, замещение атомов водорода в молекуле соляной кислоты на атомы цинка:

Реакции обмена — это реакции между двумя сложными веществами, в результате которых вещества обмениваются своими составными частями.

Реакция щелочи с кислотой называется реакцией нейтрализации и является частным случаем реакции обмена.

Для наглядности показали все типы химических реакций по этому признаку на схеме:

По изменению степени окисления

По этому признаку выделяют два вида реакций:

реакции, протекающие без изменения степени окисления;

окислительно-восстановительные реакции (ОВР) — реакции, протекающие с изменением степени окисления нескольких элементов.

В ОВР всегда участвуют вещество-окислитель и вещество-восстановитель. Другие исходные вещества, принимающие участие в реакции, выступают в качестве среды, в которой протекает эта реакция.

Окислитель — вещество, в состав которого входит ион или атом, который в процессе реакции принимает электроны, тем самым понижая свою степень окисления.

Восстановитель — вещество, в состав которого входит ион или атом, который в процессе реакции отдает электроны, тем самым повышая свою степень окисления.

Из определений можно сделать вывод, что в ходе реакции протекает два процесса: принятие электронов (восстановление) и отдача электронов (окисление). Протекают они одновременно.

По тепловому эффекту

По тепловому эффекту реакции делятся на эндотермические и экзотермические.

Эндотермические реакции протекают с поглощением теплоты (−Q). Буквой Q обозначается количество теплоты.

К таким реакциям относятся практически все реакции разложения. Пример:

Экзотермические реакции протекают с выделением теплоты (+Q).

К таким реакциям относятся практически все реакции соединения. Пример:

По агрегатному состоянию исходных веществ

По этому признаку все реакции разделяют на гомогенные и гетерогенные.

Гомогенные реакции протекают в одной фазе.

К гомогенным реакциям относятся те, исходные вещества которых находятся либо в жидком агрегатном состоянии, либо в газообразном. Например, взаимодействие двух газообразных веществ — водорода и хлора:

Агрегатное состояние указывается в правом нижнем углу: «г» — газообразное, «ж» — жидкое, «тв» — твердое.

Гетерогенные реакции протекают на границе раздела фаз.

Как правило, такие реакции протекают между веществами, которые находятся в разных агрегатных состояниях:

Также к гетерогенным относятся реакции между двумя несмешивающимися жидкостями. Собрали несколько примеров гетерогенных реакций:

Между какими веществами протекает

Между жидкостью и твердым веществом

Сода и уксусная кислота

Между твердым веществом и газом

Между жидким веществом и газом

Между двумя несмешивающимися жидкостями

По наличию или отсутствию катализатора

По этому признаку выделяют реакции каталитические и некаталитические.

Каталитические реакции — реакции, протекающие с участием катализатора

Катализатор — вещество, которое ускоряет реакцию, участвует в ней, но остается неизменным после окончания этой реакции.

Наличие катализатора указывается над знаком равенства как kat или формула конкретного вещества, выступающего в роли катализатора.

Некаталитические реакции — реакции, протекающие без участия катализатора.

По обратимости

Различают обратимые и необратимые реакции.

Обратимые реакции — реакции, протекающие в двух противоположных направлениях.

При составлении уравнений обратимых реакций вместо знака равенства используют знак «⇄».

К обратимым реакциям относят реакции ионного обмена, диссоциации электролитов и многие другие:

Необратимые реакции — реакции, которые протекают только в одном направлении.

Чтобы научиться составлять уравнения химических реакций, нужно только одно — практика. Много практики школьники получают на онлайн-курсах по химии в Skysmart. Интересные задания на интерактивной платформе, примеры из жизни и опытные преподаватели обязательно приведут к желаемому результату — и просто помогут полюбить химию.

Коэффициенты в химических уравнениях — как правильно расставлять и уравнивать

Не только ответственные ученики старших классов, но и студенты, которые решили заняться изучением базовых элементов сложной и интересной науки, стремятся научиться расставлять коэффициенты в химических уравнениях, чтобы итоговый результат соответствовал всем требованиям. Эта тема имеет много интересных фактов и правил, которые позволяют хорошо усвоить направление. Если правильно разобраться во всех нюансах, то в будущем не возникнет проблем с решением сложных задач.

• Краткое описание
• Правильная запись реакций
• Ключевые нюансы
• Понятие ОВР в химии
• Определение коэффициентов
• Решение классической задачи
• Дополнительная информация

Краткое описание

Всем достоверно известно, что диоксид углерода (СО2) и вода (Н2О) образуются в результате горения метана (СН4) в кислороде (О2). Это химическое явление элементарное и вполне логическое. Саму реакцию можно обозначить следующим уравнением: СН4+О2→СО2+Н2О. Если ученик решил более углублённо заняться изучением этой удивительной науки, то наверняка ему будет интересно постараться извлечь из этого примера химического уравнения гораздо больше ценной информации, нежели просто просмотреть запись всех реагентов, а также продуктов реакции.

Уравнение относится к категории неполных, из-за чего неподготовленный ученик не может быстро посчитать, сколько именно молекул О2 уходит на одну молекулу метана, а также какое количество молекул диоксид углерода и воды можно получить в сумме. В такой ситуации может помочь дополнительная запись данных перед соответствующими молекулярными формулами (численные стехиометрические коэффициенты).

Указанные цифры будут обозначать, сколько именно молекул каждого вида будет принимать активное участие в химической реакции. В химии часто используется стехиометрия (направление науки, которое занимается изучением количественного соотношения между веществами, вступившими в реакцию и сформированными во время этого процесса продуктами) для переноса зарядов.

Чтобы ученик мог логическим образом закончить составление уравнения, необходимо усвоить одно, но очень важное правило: в обеих частях примера должно присутствовать равное число атомов каждой разновидности. Во время химических реакций не образуются новые атомы, а также не происходит ликвидация имеющихся молекул. Именно это правило базируется на законе сохранения массы, что тоже нужно запомнить.

Востребованные сегодня онлайн-калькуляторы позволяют найти ответы на самые сложные задания, а также выстроить поэтапно алгоритм решения более сложных упражнений.

Правильная запись реакций

Различные примеры того, как можно уравнивать химические реакции позволяют ученикам лучше усвоить то, каким именно образом принято расставлять коэффициенты в уравнениях. Для избежания грубых ошибок нужно подробно разобраться во всех нюансах. Если ученику необходимо записать правильное уравнение, которое сможет подтвердить базовые характеристики метана, тогда ему следует выбрать один из следующих вариантов:

1. Элементарное горение в воздухе кислорода.
2. Специфическое галогенирование (специфическое взаимодействие с элементом типа VIIA).

Стоит отметить, что для первого варианта в левой части пишут первоначальное вещество, а вот в правой подробно описаны полученные во время реакции продукты. После тщательной проверки количества атомов можно сформировать оптимальную финальную запись происходящего процесса. Во время произведённых экспериментов специалистами было доказано, что в результате горения метана в кислороде неизбежно происходит своеобразный экзотермический процесс. В итоге возникает углекислый газ и водяной пар.

Чтобы уметь правильно расставлять коэффициенты в химических уравнениях, необходимо прибегнуть к действующему закону сохранения массы веществ.

Лучше всего начинать процесс уравнения с определения точного количества атомов углерода. На финальном этапе остаётся только выполнить все необходимые расчёты для водорода, чтобы после этого иметь возможность проверить количество кислорода. Базовые значения задействованных элементов можно узнать из специальной таблицы.

Ключевые нюансы

Для правильного решения поставленных задач ученики обязательно должны знать, что собой представляет балансировка химических уравнений. Элементарное уравнение необходимо для того, чтобы из самого обычного примера получить максимально развёрнутый результат.

Проще всего начинать изучение этой темы с углерода. В левой части присутствует всего один атом С, который является неотъемлемым компонентом состава молекулы СН4. А вот с правой стороны содержится одна молекула С, которая дополняет состав СО2. Это значит, что в двух присутствующих частях итоговое количество атомов углерода максимально совпадает, из-за чего нет необходимости выполнять какие-либо действия. Просто для лучшего понимания всех нюансов можно поставить единицу в качестве коэффициента перед молекулами с углеродом. Итоговая формула примет следующий вид: 1СН4+О2→1СО2+Н2О.

После всех проделанных манипуляций можно подсчитать количество атомов водорода. С левой стороны присутствует четыре атома H в составе СН4, а вот с правой — только два атома, которые входят в состав Н2О. После этого остаётся только всё уровнять. Для этих целей достаточно записать коэффициент 2 перед молекулой Н2О. В итоге не только в реагентах, но и в полученных продуктах будет по четыре молекулы водорода. Формула будет выглядеть так: 1СН4+О2→1СО2+2Н2О.

Во время расстановки коэффициентов методом электронного баланса очень важно не только разбираться в химии, но и владеть элементарными математическими навыками. Если изучить этот пример — 1СН4+2О2→1СО2+2Н2О, то можно понять, как выглядит полноценное уравнение исследуемой химической реакции. В этом случае полностью соблюдается закон о сохранении имеющейся массы.

Число атомов, которые вступают в сложную реакцию, максимально совпадает с итоговым количеством веществ определённого сорта по окончании реакции. Но ученику нужно хорошо понимать тот факт, что возникающая реакция представляет собой весьма специфическую последовательность отдельных промежуточных стадий. Но даже успешное уравнение не может раскрыть всю информацию об изучаемом молекулярном механизме.

Понятие ОВР в химии

В учебной литературе подробно описано то, что даже самые сложные уравнения можно уровнять. Но для этих целей понадобятся знания в сфере того, как управлять методом электронного баланса либо полуреакций. Существует определённая последовательность всех манипуляций, которая была разработана специалистами для поэтапной расстановки всех коэффициентов в реакциях двух категорий:

1. Элементарное разложение.
2. Специальное замещение.

Для избежания грубых ошибок на первом этапе правильно расставляют степени окисления возле каждого задействованного элемента. В этом случае нужно учитывать ряд рекомендаций:

• Показатель окисления всегда равен нулю у простых компонентов.
• Если в состав соединения входит три и более элемента, тогда у первого вещества проявляется положительная характеристика, а вот у крайнего только отрицательное. Необходимый центральный элемент высчитывают исключительно при помощи математических знаний, но в итоге должен получиться ноль.
• В соединении бинарного типа степень окисления соответствует нулю.

После проделанных манипуляций учащемуся нужно выбрать те ионы либо атомы, показатель степени окисления которых можно преобразовать. Количеством электронов можно показывать при помощи знаков + и -. А также нельзя забывать о необходимости определить наименьшее кратное. Во время деления НОК можно находить максимально достоверный результат.

Определение коэффициентов

Лучше всего разобраться во всех нюансах на конкретном примере. Специалисты рекомендуют рассмотреть тринитротолуол (ТНТ) С7Н5 N 3О6. Этот элемент отлично соединяется с кислородом, благодаря чему образуется Н2О, СО2, а также N2. Чтобы не запутаться, данные могут записаться в виде обычного уравнения реакций, с которым нужно будет активно работать: C7H5N3O6+O2→CO2+H2O+N2.

Гораздо проще самостоятельно составлять максимально развёрнутую химическую задачу, базируясь во время этого на двух молекулах тринитротолуола, так как с левой стороны содержится нечётное количество атомов азота и водорода, а с правой записывают чётное число молекул. Если изучить приведённый пример, то становится понятно, что атомы углерода, водорода и азота содержатся в соотношении 14:10:6. Но после нехитрых действий они подвергнутся изменениям. В итоге можно будет получить молекулы воды, диоксид углерода и азота (соотношение 5:14:3).

Полное химическое уравнение примет следующий вид — 4C7H5N3O6 + 21O2 → 28CO2 + 10H2O + 6N2. Пример несёт в себе много полезной информации, которая первым делом указывает на исходные вещества — конкретные реагенты, а также другие химические продукты. Во время реакции индивидуально сохраняются абсолютно все атомы каждого сорта.

Если попробовать умножить обе части уравнения на число Авогадро (NA=6,022·10 23 ), то в итоге можно будет смело утверждать, что 4 моля ТНТ реагируют на 21 моль О2. После такого «контакта» могут сформироваться 28 молей СО2, 10 молей Н2О, а также 6 молей N2.

Решение классической задачи

Если учащемуся необходимо определить точный объём раствора хлороводорода 10%, стандартная плотность которого находится в пределах 1,05 г/мл, тогда нужно знать, что эта жидкость идеально подходит для полной ликвидации гидроксида кальция, неизбежно формирующегося в процессе гидролиза его карбида. Из химии всем хорошо известно, что во время этой процедуры в воздух выделяется специфический газ, объём которого составляет 8,96 л. Чтобы решить поставленную задачу без единой ошибки, нужно первым делом постараться составить уравнение для гидролиза карбида кальция.

Эта задача не является сложной, но только в том случае, если ученик хорошо усвоит все основные правила. Гидроксид кальция вступает во взаимодействие с хлороводородом, из-за чего происходит полноценная нейтрализация. На финальном этапе формула примет такой вид: Са (ОН)2+2HCI = CaCl2+2H2O. Обязательно нужно записать точную массу кислоты, так как она неизбежно понадобится для дальнейших действий. Остаётся установить объём задействованного раствора хлороводорода.

Абсолютно все расчёты по этой задаче должны выполняться в соответствии с коэффициентами стереохимического типа, что лишний раз подтверждает их актуальность.

Дополнительная информация

Если учитывать то, что в большинстве случаев расстановка коэффициентов вызывает определённые затруднения, тогда нужно отработать схему действий на конкретных примерах. Для лучшего понимания всех нюансов следует рассмотреть уравнение, которое связано с расстановкой важных данных в классической реакции окислительно-восстановительного типа. Нужно разобраться со следующей формулой: Н2S+HMnO4=S+MnO2…

Ключевая особенность этой задачи в том, что ученику нужно максимально дополнить утерянный продукт реакции, чтобы в итоге иметь возможность перейти к указанию всех необходимых коэффициентов. После правильной расстановки на положенные места базовых степеней окисления у каждого вещества в соединениях можно выполнить логический вывод, что первоначальные свойства проявляет только марганец, который понижает валентность. Восстановительную способность в этой реакции лучшим образом демонстрирует сера, которая восстанавливается до простого вещества.

После окончательного составления электронного баланса остаётся правильно расставить коэффициенты в предполагаемую схему химического процесса. На этом задачу можно считать выполненной.

Необходимо дополнительно поработать над нахождением наименьшего общего кратного, чтобы правильно делить, а также умножать числа. Расстановке коэффициентов в уравнениях обязательно нужно уделять должное внимание, так как это одна из основных тем в многогранной и интересной химии.

Что такое сумма коэффициентов

Когда химические вещества вступают во взаимодействие, химические связи между их атомами разрушаются и образуются новые, уже в других сочетаниях. В результате одни вещества превращаются в другие.

Рассмотрим реакцию горения метана, происходящую в конфорке газовой плиты:

Молекула метана (CH₄) и две молекулы кислорода (2O₂) вступают в реакцию, образуя молекулу углекислого газа (CO₂) и две молекулы воды (2H₂O). Связи между атомами углерода (С) и водорода (H) в метане, а также между атомами кислорода (O) разрываются, и образуются новые связи между атомами углерода и кислорода в молекуле углекислого газа (CO₂) и между атомами водорода и кислорода в молекуле воды (H₂O).

Картинка даёт наглядное представление о том, что произошло в ходе реакции. Но зарисовывать сложные химические процессы такими схемами неудобно. Вместо этого учёные используют уравнения химических реакций.

Химическое уравнение — это условная запись химической реакции с помощью формул и символов.

Их записывают в виде схемы, в которой отражён процесс превращения. В левой части располагаются формулы реагентов — веществ, вступающих в реакцию. Завершается уравнение продуктами реакции — веществом или веществами, которые получились в результате.

Новые вещества образуются потому, что изменяются связи между атомами, но сами атомы не возникают из ниоткуда и не исчезают в никуда. На рисунке видно, что атом углерода из состава метана перешёл в состав углекислого газа, атом водорода — в состав воды, а атомы кислорода распределились между молекулами углекислого газа и воды. Число атомов не изменилось.

Согласно закону сохранения массы, общая масса реагентов всегда равна общей массе продуктов реакции. Именно поэтому запись химической реакции называют уравнением.

Виды химических реакций

Вещества вступают в реакции по-разному, можно выделить четыре наиболее частых варианта:

• Соединение. Два или несколько реагентов образуют один продукт. В реакцию могут вступать как простые вещества, так и сложные. Например, простые вещества водород и кислород взаимодействуют и образуют сложное — воду:

Сложное вещество негашёная известь соединяется с водой, и образуется новое сложное вещество — гашёная известь:

• Разложение. Обратный процесс: одно вещество распадается на несколько более простых. Например, если нагреть известняк, получаются негашёная известь и углекислый газ:

Стрелка вверх означает, что образовался газ. Он улетучивается и больше не участвует в реакции.

• Замещение. В реакции участвуют два вещества — простое и сложное. Если атомы химического элемента в простом веществе более активны, они замещают атомы одного из менее активных химических элементов в составе сложного вещества.
  

В примере атомы цинка замещают атомы водорода в составе хлороводорода, и образуется хлорид цинка:

• Обмен. Два сложных вещества обмениваются составными частями, в результате получаются два новых сложных вещества. В такой реакции обязательно образуется вода, газ или осадок.

Стрелка вниз означает, что вещество выпало в осадок, поскольку оно нерастворимо.

Коэффициенты в уравнениях химических реакций

Чтобы составить уравнение химической реакции, важно правильно подобрать коэффициенты перед формулами веществ.

Коэффициент в химических уравнениях означает число молекул (формульных единиц) вещества, необходимое для реакции. Он обозначается числом перед формулой (например, 2NaCl в последнем примере).

Коэффициент не следует путать с индексом (числом под символом химического элемента, например, О₂). Индекс обозначает количество атомов этого элемента в молекуле (формульной единице).

Чтобы узнать общее число атомов элемента в формуле, нужно умножить его индекс на коэффициент вещества. В примере на картинке (2H₂O) — четыре атома водорода и два кислорода.

Подобрать коэффициент — значит определить, сколько молекул данного вещества должно участвовать в реакции, чтобы она произошла. Далее мы расскажем, как это сделать.

Алгоритм составления уравнений химических реакций

Для начала составим схему химической реакции. Например, образование оксида магния (MgO) в процессе горения магния (Mg) в кислороде (O₂). Обозначим реагенты и продукт реакции:

Чтобы схема стала уравнением, нужно расставить коэффициенты. В левой части схемы два атома кислорода, а в правой — один. Уравняем их, увеличив число молекул продукта:

Теперь число атомов кислорода до и после реакции одинаковое, а число атомов магния — нет. Чтобы уравнять их, добавим ещё одну молекулу магния. Когда количество атомов каждого из химических элементов в составе веществ уравнено, вместо стрелки можно ставить равно:

Уравнение химической реакции составлено.

Рассмотрим реакцию разложения. Нитрат калия (KNO₃) разлагается на нитрит калия (KNO₂) и кислород (О₂):

В обеих частях схемы по одному атому калия и азота, а атомов кислорода до реакции 3, а после — 4. Необходимо их уравнять.

Для начала удвоим коэффициент перед реагентом:

Теперь в левой части схемы шесть атомов кислорода, два атома калия и два атома азота. В левой по-прежнему по одному атому калия и азота и четыре атома кислорода. Чтобы уравнять их, в правой части схемы нужно удвоить коэффициент перед нитритом калия.

Снова посчитаем число атомов каждого химического элемента в составе веществ до и после реакции: два атома калия, два атома азота и шесть атомов кислорода. Равенство достигнуто.

Химические уравнения не только позволяют предсказать, что произойдёт при взаимодействии тех или иных веществ, но и помогают рассчитать их количественное соотношение, необходимое для реакции.

Учите химию вместе с домашней онлайн-школой «Фоксфорда»! По промокоду CHEMISTRY892021 вы получите бесплатный недельный доступ к курсам химии за 8 класс и 9 класс.

Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.

Упс Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту externat@foxford.ru.

Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.

Упс Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту externat@foxford.ru.

Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.

Упс Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту externat@foxford.ru.

Упс Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту externat@foxford.ru.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Упс Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту externat@foxford.ru.

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Продолжаем рассказывать о разных формулах и подходах из математики, которые часто применяются в ИТ и в привычных алгоритмах. Сегодня будет про бином Ньютона — про него много кто слышал, но не все представляют, что это и зачем это нужно. Сейчас разложим по полочкам.

Чтобы понять бином Ньютона, нам понадобится треугольник Паскаля.

Что такое треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — это одно из названий треугольной таблицы чисел. Его назвали в честь математика Блеза Паскаля, но про такой треугольник математики знали тысячу лет назад.

Работает треугольник так: берём единицу (это будет вершина треугольника), а все остальные числа в каждом ряду получаем сложением левых и правых чисел, которые стоят выше. Если нарисовать, то получится так:

Такой треугольник можно продолжать бесконечно. В математике этот треугольник обладает разными полезными свойствами, но нам он нужен для биномиальных коэффициентов в биноме Ньютона. Вот теперь поговорим про бином.

Что такое бином Ньютона (просто)

Бином Ньютона — это формула, которая помогает посчитать сумму двух чисел, возведенную в какую-то степень.

Разбираем по полочкам:

• У нас есть некие числа a и b. Мы не знаем какие, потому что алгебра.
• Не зная, что это за числа, мы их складываем.
• Эту сумму почему-то очень хочется возвести в какую-то степень — в квадрат, в куб, в четвертую, хоть в девятьсот девяносто девятую — алгебре плевать на ваши чувства.
• Нам нужна формула, как это сделать. Вот эта формула и есть бином Ньютона.

Из школьной программы мы помним такую формулу: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — это частный случай бинома Ньютона для квадрата суммы.

Может быть, вы помните сумму в кубе: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 — это тоже бином Ньютона.

А что если нам нужно возвести сумму не в квадрат, не в куб, а в сто сорок шестую степень? Какая тогда будет формула? Вот для этого нам нужна более обобщенная формула, которая опишет вообще все варианты биномов для любой степени.

Вот как эта формула выглядит в общем виде:

Про знак Σ мы уже говорили — это обозначение суммы, а цифры в больших скобках — это биномиальные коэффициенты. В общем виде они считаются так:

Исходя из этой адской формулы для расчета бинома на компьютере нам нужно будет много раз посчитать факториал — это произведение всех целых чисел от единицы до заданного числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. А факториалы в силу своей цикличности жрут довольно много оперативной памяти. Может так получиться, что мы не сможем посчитать коэффициенты бинома, потому что закончилась оперативка.

Но, оказывается, необязательно считать факториалы — есть способ проще.

Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля (простая теория в картинках)

Тут нам приходит на помощь треугольник Паскаля. Оказывается, числа в каждом ряду — это биномиальные коэффициенты для каждой степени n:

На практике это работает так: допустим, что по ходу работы алгоритма нам нужно раскрыть скобки и вычислить (x + y)⁴. Применим сюда бином Ньютона и треугольник Паскаля:

Получается, что с помощью этого треугольника можно не считать все эти формулы с факториалами, а быстро находить нужные коэффициенты, подставлять их в формулу бинома и сразу получать ответ. Так можно разложить любой бином и получить ответ гораздо быстрее, чем вычисляя все факториалы подряд.

Где используется бином Ньютона

Кроме математики, где бином нужен для комбинаторики и разных полезных формул, он часто применяется в программировании. Например, с его помощью можно обойти ограничение на размер оперативной памяти при возведении большого числа в степень: его можно разложить на сумму двух чисел поменьше и посчитать слагаемые через бином.

Также биномиальные коэффициенты часто применяются в матрицах и операциях с векторами — а именно на матрицах построены почти все нейросети. Поэтому если мы сможем быстро находить нужный коэффициент и применять его к матрице, то сможем быстрее создавать дипфейки и генерировать реалистичные пейзажи. Строго говоря, для этого сейчас нужно просто знать команду import, потому что готовых библиотек на эту тему — вагон, без всяких биномов.

А ещё на биномиальных коэффициентах работает отдельная непозиционная система счисления — её применяют в проектах, где надо быстро перебирать много различных вариантов и их возможных сочетаний.

Что дальше

Дальше мы попробуем применить эти знания и алгоритмы на практике: напишем код, который использует бином Ньютона для решения разных хитрых бытовых задач.

Числовой коэффициент выражения: определение, примеры

В математических описаниях часто фигурирует термин «числовой коэффициент», например, в работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными. Материал статьи ниже раскрывает понятие этого термина, в том числе, на примере решения задач на нахождение числового коэффициента.

Определение числового коэффициента. Примеры

Учебник Н.Я. Виленкина (учебный материал для учащихся 6 классов) задает такое определение числового коэффициента выражения:

Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения.

Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.

Данное определение дает возможность указать примеры числовых коэффициентов выражений.

Рассмотрим произведение числа 5 и буквы a , которое будет иметь следующий вид: 5 · a . Число 5 является числовым коэффициентом выражения согласно определению выше.

В заданном произведении x · y · 1 , 3 · x · x · z десятичная дробь 1 , 3 – единственным числовой множитель, который и будет служить числовым коэффициентом выражения.

Также разберем такое выражение:

7 · x + y . Число 7 в данном случае не служит числовым коэффициентом выражения, поскольку заданное выражение не является произведением. Но при этом число 7 – числовой коэффициент первого слагаемого в заданном выражении.

Пусть дано произведение 2 · a · 6 · b · 9 · c .

Мы видим, что запись выражения содержит три числа, и, чтобы найти числовой коэффициент исходного выражения, его следует переписать в виде выражения с единственным числовым множителем. Собственно, это и является процессом нахождения числового коэффициента.

Отметим, что произведения одинаковых букв могут быть представлены как степени с натуральным показателем, поэтому определение числового коэффициента верно и для выражений со степенями.

Выражение 3 · x 3 · y · z 2 – по сути оптимизированная версия выражения 3 · x · x · x · y · z · z , где коэффициент выражения – число 3 .

Отдельно поговорим о числовых коэффициентах 1 и — 1 . Они очень редко записаны в явном виде, и в этом их особенность. Когда произведение состоит из нескольких букв (без явного числового множителя), и перед ним обозначен знак плюс или вовсе нет никакого знака, мы можем говорить, что числовым коэффициентом такого выражения является число 1 . Когда перед произведением букв обозначен знак минус, можно утверждать, что в этом случае числовой коэффициент – число — 1 .

Далее определение числового коэффициента расширяется с произведения нескольких букв и числа до произведения числа и нескольких буквенных выражений.

К примеру, в произведении — 5 · x + 1 число — 5 будет служить числовым коэффициентом.

По аналогии, в выражении 8 · 1 + 1 x · x число 8 – коэффициент выражения; а в выражении π + 1 4 · sin x + π 6 · cos — π 3 + 2 · x числовой коэффициент — π + 1 4 .

Нахождение числового коэффициента выражения

Выше мы говорили о том, что если выражение представляет собой произведение с единственным числовым множителем, то этот множитель и будет являться числовым коэффициентом выражения. В случае, когда выражение записано в ином виде, предстоит совершить ряд тождественных преобразований, который приведет заданное выражение к виду произведения с единственным числовым множителем.

Задано выражение − 3 · x · ( − 6 ) . Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

Осуществим тождественное преобразование, а именно произведем группировку множителей, являющихся числами, и перемножим их. Тогда получим: − 3 · x · ( − 6 ) = ( ( − 3 ) · ( − 6 ) ) · x = 18 · x .

В полученном выражении мы видим явный числовой коэффициент, равный 18 .

Ответ: 18

Задано выражение a — 1 2 · 2 · a — 6 — 2 · a 2 — 3 · a — 3 . Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

С целью определения числового коэффициента преобразуем в многочлен заданное целое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

a — 1 2 · 2 · a — 6 — 2 · a 2 — 3 · a — 3 = = 2 · a 2 — 6 · a — a + 3 — 2 · a 2 + 6 · a — 3 = — a

Как расставить коэффициенты в химических уравнениях?

В химии уравнение – это запись реакции с помощью формул веществ и математических знаков.

Знак «=» подразумевает, что реакция уравнена, поэтому принято сперва ставить «→» и только в самом конце заменять его на «=».

Вам встретятся следующие понятия:

• Коэффициент – множитель, означающий количество частиц прореагировавшего или образовавшегося вещества. Если перед формулой не стоит коэффициент, он равен 1.
• Индекс – это количественное значение атомов элемента в формуле. Если индекс не стоит, он равен 1.

Например, формуле 8H2O 8 – коэффициент (взято 8 молекул воды), а 2 – индекс (в молекуле воды содержится 2 атома водорода).

Правила расстановки коэффициентов

Как расставлять коэффициенты в уравнениях химических реакций?

Есть несколько принципов, по которым расставляются коэффициенты:

1) Количество элемента в левой части должно совпадать с его количеством в правой;
2) Коэффициент умножается на индекс каждого химического элемента в формуле;
3) Если в одной части уравнения есть несколько веществ, содержащих один и тот же химический элемент, то числовые значения этого элемента из всех формул складываются.

Несмотря на кажущуюся легкость этой темы, иногда именно с нее начинаются пробелы в знаниях по химии. Чтобы не допустить этого мы рекомендуем не затягивать с отставанием по предмету, а сразу записаться на курсы по химии для школьников. Особенно, если химия понадобится для выпускного экзамена.

Уравнивание простых реакций

Как расставлять коэффициенты в уравнениях химических реакций?

Разберемся, как правила работают на практике примере простой реакции соединения:

Считаем сколько атомов фосфора в левой части и сколько в правой. Слева фосфор содержит простое вещество P. Индекс не стоит, значит он равен 1. Значит слева 1 атом P. Справа фосфор содержит P2O5_, причем стоит индекс 2, значит справа 2 фосфора.

Считаем кислород. Слева 2 атома кислорода, а справа их 5.

Уравниваем кислород. Нужно домножить с каждой стороны его количество на такое число, чтобы в правой стороне кислорода стало столько же, сколько и в левой. Найдем наименьшее общее кратное 2 и 5. Это 10. Слева у кислорода ставим коэффициент 5, чтобы его количество стало равно 10, а справа перед P2O5 пишем 2.

Получаем такую запись:

Уравниваем фосфор. В левой стороне 1 атом фосфора, в правой стороне его стало 4, так как мы поставили 2 перед P2O5, и теперь эту двойку нужно умножать на индекс в формуле. Чтобы количество фосфора в обеих частях сравнялось, ставим 4 в левой части у P.

Реакция уравнена. Пишем знак «=».

Как расставлять коэффициенты в уравнениях химических реакций?

Уравнивание сложных реакций

Единственное, на что стоит обратить внимание: кислород и водород удобнее уравнивать последними. В остальном процесс идентичен.

Рассмотрим реакцию гидроксида кальция с соляной кислотой.

Ca(OH)2 + HCl → CaCl2 + H₂O

Число кальция в каждой части равно 1, кальций уравнен. Сравним количество хлора. Слева 1, справа 2. Ставим перед HCl 2.

Ca(OH)2 + 2HCl → CaCl2 + H2O

Считаем кислород. Слева 2, справа 1. Пишем 2 у воды. Проверяем водород. В левой части его содержат оба вещества. Суммируем количество атомов H, получаем 4. Справа водорода тоже 4. Ставим «=».

Ca(OH)2 + 2HCl = CaCl2 + 2H2O

Как расставлять коэффициенты в уравнениях химических реакций?

Расстановка коэффициентов с помощью электронного баланса

Метод электронного баланса применим для окислительно-восстановительных реакций. Изучение этого метода начинается с определения степеней окисления.

Степень окисления – это заряд атома элемента в соединениях.

Cu + HNO3 → Cu(NO3)2 + NO2 + H2O

Определяем, степень окисления каких элементов поменялась. Это медь и азот. Степень окисления меди была 0, стала +2. Степень окисления азота была +5, стала +4.

Чтобы медь из нуля перешла в +2, она должна отдать 2 электрона. Чтобы азот из +5 перешел в +4, он должен принять 1 электрон.

Cu0 – 2e → Cu +2
N +5 + 1e → N +4

Как расставлять коэффициенты в уравнениях химических реакций?

Далее нужно найти наименьшее общее кратное 2 и 1. Это 2. Делим его на количество отданных медью электронов, затем снова делим его на количество принятых электронов азотом. Найденные значения как раз и являются искомыми коэффициентами.

Cu0 – 2e → Cu +2 2 2 1
N +5 + 1e → N +4 1 2 2

Пишем 2 перед NO2. В правой стороне азота стало 4. Ставим 4 перед HNO3. Перед Cu коэффициенты не нужны, так как по балансу получилась единица. В левой части 4 водорода, пишем 2 перед водой. Проверяем кислород. И там, и там его по 12. Ставим «=».

Cu + 4HNO3 = Cu(NO3)2 + 2NO2 + 2H2O

Сперва процесс занимает много времени, но после многочисленных уравниваний он доводится до автоматизма.