Что такое задача в математике

Задача как математическое понятие

1. Современный методический подход к вопросу обучения решению задач.

2. Задача как математическое понятие.

3. Подготовительная работа к обучению решению задач.

4. Примерные разработки занятий по подготовке и обуче­нию решению задач детей старшей и подготовительной групп.

Вопросы:

1. Раскройте современный подход к решению дошкольниками задач.

2. Почему «задача» — это математическое понятие?

3. Раскройте содержание подготовительной работы к решению задач.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Подобрать 5 задач на сложение и вычитание.

Литература:

1. Белошистая А. В. Формирование и развитие математических способно­стей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лек­ций для студ. дошк. факультетов высш. учеб. заведений. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. — С. 84 – 97.

Современный методический подход к вопросу обучения решению задач

Обучение решению задач является сложнейшей методической проблемой не только в методике обучения математик! младших школьников, но и в методике обучения математики в старших классах.

Методические подходы к вопросу о порядке изучения арифметических действий, вычислений и обучения решению задач значительно изменились за последние 15-20 лет, что обусловлено главным образом упрочением позиций развивающего обучения и личностно-деятельностного подхода к пониманию цели и сути образовательного процесса. Общепринятые сегодня в системе развивающего обучения подход состоит в том, что знакомить ребенка с арифметическими действиями и соответственно с простейшими приемами вычислений следует раньше, чем начинать обучение решению задач.

В связи с этим необходимость обучения дошкольников решению задач вызывает большое сомнение с методической точки зрения, поскольку в условиях дошкольной подготовки сложно решить все аспекты этой методической проблемы.

Задача как математическое понятие присутствует сегодня и в традиционной программе математической подготовки дошкольников, в программах «Радуга» и «Детство», которые опираются в этом вопросе на традиционную методику пособия А.М. Леушиной, но ее нет в программе «Школа 2000», авторы которой впервые знакомят ребенка с задачей в конце первого полугодия 1 класса.

Таким образом, налицо противоречие между тем методическим подходом к процессу обучения, который был принят в 70-е годы, когда было написано пособие А.М. Леушиной, и современным пониманием роли и места задач в обучении ребенка математике. В учебных пособиях по математике нового поколении (учебники И.И. Аргинской и учебники Н.Б. Истоминой), созданных для устанавливающейся сейчас системы двенадцатилетней школы с четырехлетним начальным звеном, тема «Задача» вообще не рассматривается в 1 классе, предусмотрена только подготовительная работа к знакомству с этим понятием, а с задачами как таковыми дети знакомятся во 2 классе.

Задача как математическое понятие

Определим прежде всего, что в методике начального обучения подразумевается под задачей. Задача — это текст, содержащий численные компоненты. Структура этого текста такова, что в нем можно выделить условие и требование (которое не всегда вы­ражено в форме вопросительного предложения).

Решить зада­чу — значит выполнить арифметические действия, определен­ные условием, и удовлетворить требованию задачи.

Согласно этому определению для полноценной работы над задачей ребенок должен:

а) уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;

б) уметь работать над текстом задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;

в) уметь правильно выбирать и выполнять арифметические действия.

Данный список представляет собой сокращенный вариант уме­ний, поскольку каждое из них является «сложносоставленным». Суть современного развивающего методического подхода к обучению ребенка решению задач состоит в том, что методика желает сформировать у учащегося самостоятельную учебную деятельность, в том числе и в плане решения задач.

Иными словами, речь идет не о том, чтобы научить ребенка узнавать и решать ограниченный круг типовых задач (сформировать навык решения типовых задач, как говорили в прежние годы), а научить ребенка решать любые задачи, и притом самостоятель­но.

Понятно, что невозможно научить этому всех детей одина­ково хорошо и в одинаковые сроки, но попытаться сформиро­вать у ребенка умение самостоятельно работать над задачей как учебной проблемой — вот одна из основных линий современ­ной методики обучения математике в начальных классах. В связи с тем, что первое из упомянутых выше умений — умение хорошо читать — формируется у многих детей не в пол­ной мере даже к концу 1 класса, педагогам, обучающим реше­нию задач таких детей, приходится работать с ними «на слух».

В этой ситуации важнейшее значение приобретают умение ребенка слушать и понимать тексты различных структур, умение правильно представлять себе и моделировать ситуа­ции, предлагаемые педагогом, умение правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией, а также умение состав­лять математическое выражение в соответствии с выбранным действием и выполнять простые вычисления (отсчитывание и присчитыванием).

Все эти умения являются базовыми -подготовки ребенка к обучению решению задач. Покажем возможные варианты организации подготовите.)! ной работы к обучению решению задач, которую можно реализовать на математических занятиях в ДОУ с детьми шест и седьмого года жизни.

©2015- 2022 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.

Понятие задачи в начальном курсе математики

Понятие «задача» в начальном курсе математики имеет свою специфику. Традиционно сложилось так, что, говоря о решении задач в начальных классах, имеют в виду решение арифметических (вычислительных, сюжетных) задач. В методической литературе эти понятия часто заменяются понятием «текстовая задача». Хотя очень трудно согласиться с тем, что эти понятия равнозначны. Например, логические задачи будут являться текстовыми, но не вычислительными. Приведем пример.

1. Три товарища, Аркаша, Дима и Вова пошли в лес за грибами, каждый со своей сестрой. Девочек звали Галя, Лена и Оля. Назови имя сестры каждого мальчика, если известно, что ни один из мальчиков не помогал своей сестре и что Дима несколько грибов положил Гале в корзинку, а Аркаша в корзину Гале и Оле.

2. В одном классе учились три друга: Коля, Петя и Толя. Фамилии их были: Белов, Чернов и Рыжиков. Назови фамилию каждого из мальчиков, если известно, что: а) ни один из них не носил фамилию соответствующую его цвету волос; б) Петя был черноволосым, у Толи волосы были рыжими, а Коля был блондином.

3. В одном подъезде жили три подружки: Вера, Ася и Света. Узнай, кто из девочек выше, если известно, что Вера выше Аси, а Света ниже Веры, но на уроке физкультуры Света стоит перед Асей.

В то же время задача может быть текстовой, но не логической. Например:

1. Буратино должен открыть волшебную дверцу. Для этого ему нужно набрать код: трехзначное число из цифр 5,6,7,8. И еще условие: код-число больше 800. Какие числа должен проверить Буратино?

2. В столовой на обед было приготовлено два первых блюда — суп и щи; три вторых — голубцы, плов и блины; четыре третьих — чай, сок и молоко. Составь все возможные наборы блюд для обеда.

3. В магазине продают сказки народов мира: русские, немецкие, узбекские и арабские. В праздничные упаковки работники магазина решили упаковать по две разные книги. Сколько различных наборов им удалось составить?

Мы полагаем, что к текстовым задачам можно отнести и комбинаторные, и задачи на построение и измерение, так как «текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса».

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи:

Понятие текстовой задачи настолько многопланово, что построить их классификацию в виде некого единого дерева вряд ли возможно. Поэтому проблема классификации видов текстовых задач сводится в основном к выделению тех параметров, на основании которых их объединяют в различные группы. В числе таких параметров можно назвать:

а) количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи: простые и составные, (арифметические, вычислительные задачи).

б) соответствие числа данных и искомых (определенные задачи — это задачи, в которой условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа; задачи с альтернативным условием — это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько вариантов, а ответ находится после того, как условия будут исследованы; переопределенные задачи — имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом; недоопределенные задачи — недостаток данных в которых не позволит ответить на вопрос задачи).

в) фабула задачи (задачи на «движение», «на работу», «на проценты», задачи на построение, измерение, комбинаторные задачи, логические задачи и т.д.).

Таким образом, имеет право на существование не одна какая-либо классификация, а много разных классификаций текстовых задач по различным основаниям.

Неотъемлемой частью решения любой текстовой задачи является построение ее модели, исследование которой служит средством для получения ответа на требование задачи.

Под моделью понимают мысленно представленную или материально реализованную систему, которая, выражая и воспроизводя объект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изучение ее дает новую информацию об этом объекте. Модель в самом широком смысле — это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, компьютерные программы, копии оригинала (увеличенные или уменьшенные). При этом модель является лишь отображением оригинала, поэтому любая модель не только должна быть удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и должна позволить перенести полученные знания на исходный объект. Поэтому при построении важно охватить только те свойства оригинала, которые существенны в данной ситуации и являются объектом изучения.

В качестве методов решения текстовых задач обычно называют: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический. В основе каждого метода лежат различные виды моделей.

Решить задачу арифметическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, выполнив арифметические действия над числами. При этом одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. В этом случае решения будут отличаться либо связями между данными и искомыми, либо последовательностью использования этих связей.

Решение задачи геометрическим методом требует использования построений или свойств геометрических фигур.

Логический метод предполагает ответ на требование задачи с помощью логических рассуждений.

Решение текстовой задачи практическим методом требует выполнения практических действий с предметами или их копиями (моделями).

В рамках данной классификации решение комбинаторных задач в начальных классах связано с практическим методом, который реализуется через моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных объектов (прием драматизации), предметных или графических моделей (выполнение рисунка), с помощью таблиц и графов («дерево» возможных вариантов). Большинство комбинаторных задач в начальных классах можно назвать сюжетными. Решение сюжетных задач, как отмечает Л.М. Фридман «представляет собой очень сложный процесс».

Этот процесс можно рассматривать с разных точек зрения: с математической — какие математические операции следует произвести, чтобы получить ответ на требование задачи; с логической — какие рассуждения надо провести; с психологической — какие мыслительные операции выполняет решающий задачу; с педагогической — какие методические приемы формируют у учащихся умения решать задачу.

Результаты анализа методической литературы и современной школьной практики по проблеме обучения младших школьников решению текстовых сюжетных задач позволяют констатировать, что:

1. Большая часть текстовых задач в начальном курсе математики являются вычислительными (арифметическими).

2. Основным приемом обучения младших школьников решению этих задач остается показ образца способов решения задач определенных видов.

3. Работа над усвоением структуры задачи носит формальный характер, так как детям предлагаются однообразные текстовые конструкции, в которых они выделяют условие и вопрос, известные и неизвестные, ориентируясь на внешние признаки.

4. Излишнее внимание уделяется процедуре оформления решения задач (по действиям, по действиям с пояснениями и др.) в ущерб обсуждению различных способов их решения.

5. На уроках наблюдается тенденция к решению как можно большего количества задач, сокращающая время работы по осознанию учащимися методов и приемов их решения.

6. Перечень методических средств и приемов, способствующих формированию умения решать задачи, весьма ограничен (аналитико- синтетический разбор, краткая запись, таблицы).

Мы полностью согласны с мнением методистов (Н.Б. Истомина, С.Е. Царева, В.В. Малыхина, Н.А. Муртазина), которые считают, что приоритетной линией в обучении младших школьников решению текстовых задач, должно стать:

– совершенствование методов обучения решению задач;

– активное использование различных моделей в процессе решения

– включение в процесс обучения начальной математики различных видов текстовых задач, в частности комбинаторных.

Понятие «задача» в начальном курсе математики. Различные методы решения задач и их использование в процессе обучения младших школьников.

Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем условие, т.е. ту часть, где содержаться сведения об известных и неизвестных значениях величин, об отношениях между ними, и требование, т. е. указания на то, что нужно найти.

Например: 1.Найди сумму 3 и 5.

Условие задачи – числа 3и5. Требование – найди сумму этих чисел.

2. Реши уравнение x+4=9.

В условие задачи дано уравнение. Требование – решить его, т.е. подобрать вместо х такое число, чтобы получилось истинное равенство.

Для выполнения каждого требования применяется определённый метод или способ действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач: на построение, доказательство, преобразование, комбинаторные задачи, арифметические и т.д. В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идёт об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют «текстовыми», «сюжетными», «вычислительными».

При обучении младших школьников математике решению этих задач уделяется большое внимание. Это обусловлено следующим.

1. В сюжетах находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребёнка. Это помогает ему осознать реальные количественные отношения между различными реальными объектами (величинами) и тем самым углубить и расширить свои представления о реальной действительности.

2. Решение этих задач позволяет ребёнку осознать практическую значимость тех математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики.

3. В процессе их решения у ребёнка можно формировать общие умения, необходимые для решения любой математической задачи в дальнейшем (выделять данные и искомое, условие и вопрос, устанавливать взаимосвязи между ними, строить умозаключения, моделировать, записывать решение, проверять полученный результат).

4. Каждая задача представляет собой определенную проблемную ситуацию, которую следует решить, поэтому процесс решения задач способствует развитию мышления учащихся.

Задача – это сюжетно-числовая ситуация, обуславливающая, тот или иной вопрос, на который требуется дать ответ при помощи вычислений, наблюдений, измерений, построений.

Понятие «решение задачи» можно рассматривать с разных точек зрения:

1. Решение как результат,т.е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче;

2. Решение как процесс нахождения этого результата.

Этот процесс тоже можно рассматривать с 2-х сторон:

1. Как метод нахождения результата;

2. Как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной метод.

Рассмотрим различные методырешения текстовых задач на конкретном примере:

Восемь яблок разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок?

1. Практический метод. Учащиесямогут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 8. Для этого отсчитают 8 яблок, положат 2 на одну тарелку, затем 2 на другую и т.д., пока не разложат все. Подсчитав количество тарелок (4), они ответят на поставленный вопрос. Возможности этого метода ограничены, так как учащиеся могут выполнять предметные действия только с небольшими количествами.

2. Графический метод. Изобразим каждое яблоко кругом. Этот метод решения близок к практическому, но носит более абстрактный характер и требует специального разъяснения.

3. Арифметический метод. Усвоив смысл деления и его запись, можно решить данную задачу этим методом, записав равенство: 8 :2=4.

4. Алгебраический метод. Рассуждать при решении этим методом нужно так: «Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой х. На каждой тарелке 2 яблока, значит, число всех яблок – это 2 Т.к. из условиязадачи известно, что число всех яблок8, то можно записать уравнение 2 и решить его: х=8:2, х=4»

Помимо указанных методов можно назвать ещё и такие:

— Схематическое моделирование–позволяет выявить связи и отношения между данными и искомым и ответить на вопрос задачи. Этисвязи и отношения не всегда возможно представить в виде равенства, т.е. в виде символической модели.

Пример: Боря, Вова и Коля – братья. Боря старше Вовы, но младше Коли. Назови имя старшего, среднего и младшего брата.

Обозначим возраст каждого брата отрезком.

По схеме легко ответить на вопрос задачи.

— Комбинированный метод. При данном решении, одновременно используется и схема, и числовые равенства. Иногда при решении задачи ученику трудно решить задачу, а построив схему он найдёт верный способ её решения.

Когда из гаража выехало 18 машин, в ней осталось их в 3 раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже?

У фермера 20 машин грузовых и легковых, причем, на каждую легковую приходится 4 грузовых. Сколько легковых и грузовых машин было у фермера?

Л.

Г.

Всего

Таким образом, для ответа на вопрос применяется определённый способ действия, в зависимости от которого, можно различать задачи следующего вида: на преобразование, комбинирование и др.

Начальный курс математики ставит своей основной целью научить школьников решать задачи арифметическим методом, который сводится к выбору арифметических действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Решение задач в этом случае оформляется в виде числовых равенств, к которым даются пояснения.

В начальных классах используются различные формы записи решения задач арифметическим методом:

1. по действиям (по действиям с пояснением, с вопросами);

Одним выражением.

Рассмотрим различные формы записи решения конкретной задачи.

У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12- на вторую, остальные – на третью. Сколько книг на третьей полке?

1.1. решение по действиям:

Ответ: 50 книг на третьей полке.

1.2. По действиям с пояснением:

1. 28 +12=40(к.) – книг на первой и второй полках вместе.

2. 90 – 40= 50(к.) – книг на третьей полке.

1.3. По действиям с вопросами:

1. Сколько книг на 1 и 2 полках вместе?

2.Сколько книг на 3 полке?

Ответ: 50 книг на 3 полке.

2. Выражением:

При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

Ответ: 50 книг на 3 полке.

Не следует путать такие понятия как:

— решение задачи различными методами (практический, арифметический, графический, алгебраический);

— различные формы записи арифметического метода решения задачи (по действиям, выражением);

— решение задачи различными арифметическими способами — речь идёт о возможности установления различных связей между данными и искомым, а следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.

Например, указанную выше задачу про книги можно решить тремя способами. Первый уже был указан.

1. 90- 28=62(к.) – книг на второй и третьей полке.

2.62 – 12=50(к.) – книг на третьей полке.

1. 90- 12=78(к.) – книг на первой и третьей полке.

2.78 – 28=50(к.) – книг на третьей полке.

Таким образом, в курсе математики начальных классов текстовые задачи выступают с одной стороны, как объект изучения, формирования определённых умений, а с другой стороны являются одним из средств применения математических понятий, тем самым они выражают функцию связующего звена между теорией и практикой. Современная математика не ориентирует детей на заучивание и узнавание видов текстовых задач, т.к. это формирует формальный подход к решению задач. Поэтому не следует говорить о навыке решения задачи, речь может идти только о формировании или отработке определённых умений:

— находить условие и вопрос;

— известные и неизвестные величины;

— выполнять анализ текста, в процессе которого, определяются связи между данными и искомым и арифметические действия для решения задачи;

Что такое задача

Деятельностная цель: формирование у учащихся умений реализации новых способов действия.

Содержательная цель: расширение понятийной базы за счёт включения в неё новых элементов.

Задачи урока:

— формировать умение устанавливать различия между задачей и математическим рассказом;

— составлять числовые выражения на увеличение/уменьшение чисел.

Формировать способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности; развитие этических чувств, доброжелательности и эмоционально-нравственной отзывчивости.

Регулятивные: формировать умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя, работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.

Формировать умение планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Общеучебные: умение структурировать знания, осознанно и произвольно строить речевое высказывание, самостоятельно формулировать познавательную цель, рефлексия способов и условий действия.

Логические: формировать умение анализировать объекты с целью выделения признаков, формулировать проблему; самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Методы обучения: проблемный, поисковый, исследовательский.

Вид деятельности: продуктивная деятельность.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: учебник, мультимедийный проектор, презентация, словарь Ожегова.

Ход урока

1.Организационный момент.

Он пойдёт ребятам впрок.

Постарайтесь всё понять,

Учитесь тайны открывать.

Ответы полные давайте

И на уроке не зевайте.

— Что за запись вы видите на доске? (Выражения)

4+2 8-6 4+5 4-3 5-1 3+4

— А чтобы узнать, о чём пойдёт на уроке речь, вам придётся найти значение этих выражений. (Записать только ответы) — Взаимопроверка

6 2 9 1 4 7 (на доске ответ)

— Расположите ответы в порядке убывания (9,7,6,4,2,1).

9 7 6 4 2 1 (на доске – дети)

Каждой цифре соответствует буква, запишите под цифрами соответствующие буквы, и вас получится слово. (На доске – дети)

Задача

-Что такое задача, хотите узнать? (да)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в пробном действии

Перед вами 4 записи:

1. Зайчик уронил 1 морковку.

2. Сколько морковок было у зайчика?

3. Зайчик уронил 1 морковку. У него осталось ещё 5. Всего у него было 6 морковок.

4. Зайчик уронил 1 морковку. У него осталось ещё 5. Сколько морковок было у зайчика сначала?

— Какая история будет являться задачей? (разные ответы детей).

— Почему мы не можем точно ответить на вопрос? Чего мы не знаем?

( Не знаем, что такое задача).

3.Постановка учебной задачи

— В каком месте возникло затруднение? (при выборе задачи).

— Почему возникло затруднение? (не знаем, что такое задача).

— Какую цель ставим? (Узнать, что такое задача. Из каких частей состоит. Чем отличается от математического рассказа).

— Сформулируйте тему урока («Что такое задача»).

4. Построение проекта выхода из затруднения.

— Предположите, что такое задача?

— Где мы можем уточнить? (обратимся к словарю).

(В толковом словаре С.И.Ожегова: Задача – это «то, что требует решения»).

— Для того, чтобы дать ответ, что должно быть в задаче? (вопрос).

Вывод 1: В задаче должен быть вопрос.

– Прочитайте следующую запись. (Чего больше яблок или вишен?)

— Почему? Ведь это вопрос? (Нам ничего не известно)

-Значит, в задаче должно быть то, что известно, т.е. условие.

Вывод 2. В задаче должны быть вопрос и условие.

— Прочитайте следующую запись. (В вазе 5 яблок и 4 груши. На сколько вишен больше, чем бананов?)

– Почему? Есть и условие и вопрос? (Они не связаны по смыслу).

Вывод 3: Условие и вопрос в задаче должны быть связаны по смыслу.

Вернёмся к нашим записям и попробуем снова.

-Какая же история является задачей? (4-ая). — Почему? (вывод 3)

— Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (решить её)

— А чтобы решить, надо её проанализировать, понять. А поможет рисунок. Составим выражение. Запишем его. Назовём ответ.

Выполнение № 86 на доске с учеником и учителем, остальные решают самостоятельно, затем самопроверка.

Роль задач в обучении математике

Астанина, И. В. Роль задач в обучении математике / И. В. Астанина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2015. — № 8 (88). — С. 879-882. — URL: https://moluch.ru/archive/88/17347/ (дата обращения: 28.08.2022).

Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при условии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определениями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается прежде всего при решении задач и выполнении упражнений.

2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и, следовательно, математической символикой. Простейшая символика вводится еще в начальной школе и в IV-V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.

3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказательствам — одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка.

Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же математики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет вовсе. Начинать надо с достаточно простых задач.

4) Задачи для формирования математических умений и навыков.

5) Задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие внимание учащихся на вновь изучаемых идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы.

Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужит задача, приводящая к такому уравнению.

Полезно вспомнить, что решение конкретных задач (например, о мгновенной скорости, о касательной, о плотности стержня) приводит к понятию производной, а задачи о площади криволинейной трапеции, о работе переменной силы, действующей вдоль прямой, — к понятию интеграла.

Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьезную роль в курсе математики, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теоремы и т. д.

Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.

Исследованиями психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.

Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении. Одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке. Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева — утверждения, выкладки, вычисления, справа — аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычислений.

Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

а) Задачи и упражнения, включающие элементы исследования. Простейшие исследования при решении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и геометрии и даже на уроках математики в IV-V классах.

В последующих классах следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части. Такие исследования необходимо включаются в решение многих геометрических задач на построение (как в планиметрии, так и в стереометрии), уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логарифмических с параметрами) и др. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики, например -при изучении действительных чисел в IX классе.

б) Задачи на доказательство доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в) Задачи и упражнения в отыскании ошибок также играют значительную роль в развитии математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отыскании ошибок должны быть несложными.

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи. В дальнейшем эти затраты с лихвой окупаются.

Надо отметить, что рациональные приемы решения не появляются сами, по одному только желанию. Рациональным способам решений надо обучать. Один из путей обучения и есть решение задач несколькими способами, выбор лучшего из них.

Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять рассуждения, обратные применяемым при обычном решении задач. Следовательно, при составлении задачи ученик применяет логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывает новые связи между математическими объектами. Это развивает их мышление. При изучении первых понятий алгебры (например, действий с рациональными числами) следует предлагать учащимся составлять вычислительные упражнения, в которых бы для упрощения вычислений применялись законы действий, особенно Дистрибутивный. Учащиеся должны свободно оперировать законами действий.

Очень полезны упражнения в составлении уравнений по заданным их корням, систем уравнений по данным решениям, задач по заданным уравнениям или их системам.

Составление задач по заданным уравнениям полезно хотя бы потому, что задачи эти бывают разнообразны по фабуле, а это убеждает в общности математических методов.

Следует предостеречь учителя от чрезмерного увлечения конструированием задач. Нет необходимости доводить конструирование задач до навыка, поэтому не нужно предлагать ученикам трафареты для составления математических объектов и задач. Всякий трафарет, шаблон в конструировании губит главное, ради чего эти упражнения вводятся: творческую мысль ученика.

1. Виленкин Н. Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. 1988. № 4.

2. Дьюи Д. Психология и педагогика мышления / Пер. с англ. Н. М. Никольской. М., 1990.

3. Далингер В. А. Совершенствование процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипред-метных связей / ОмИПКРО. Омск, 1993.

4. Гельфман Э. Г. и др. Натуральные числа и десятичные дроби. Практикум: Учеб. пос. по математике для 5 класса. Томск, 2003.

5. Гельфман Э. Г. и др. Положительные и отрицательные числа: Учеб. пос. по математике для 6 класса. Томск, 2001.

6. Гельфман Э. Г. и др. Знакомимся с алгеброй: Учеб. пос. по математике для 7 класса. Томск, 2002.

7. Гельфман Э. Г. и др. Квадратные уравнения: Учеб. пос. по математике для 8 класса. Томск, 2002.

8. Гельфман Э. Г. и др. Квадратичная функция: Учеб. пос. по математике для 9 класса. Томск, 2002.

9. Концепция и программа проекта «Математика. Психология. Интеллект». Математика 5–9 классы. Томск, 1999.

10. Маликова Н. Г. Развитие умения моделировать как средство обучения решению текстовых задач // Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации российского образования: Мат-лы всерос. науч.-практ. конф. Волгоград, 26 окт. 2004 г. / Волгогр. гос. пед. ун-т. Волгоград, 2004.

11. Матушкина З. П. Приемы обучения учащихся решению математических задач: Учеб. пос. Курган, 2003.

12. Былков В. С. О характере использования математической модели в курсе алгебры и начал анализа // Методические рекомендации к практическим занятиям по методике преподавания математики (в средней школе и средних ПТУ) / Под ред. Р. С. Черкасова, А. Я. Блоха. М., 1985.

13. Толпенина Н. В. Методика организации учебных исследований при обучении учащихся решению уравнений, неравенств и их систем с параметрами: Афтореф. дис. канд. пед. наук. Омск, 2002.

14. Пойа Д. Как решать задачу: Пос. для учителей. М., 1961.

15. Блох А. Я., Барзанова Р. В. Методика работы над текстовой алгебраической задачей // Методические рекомендации по преподаванию математики в средней школе / Под ред. Р. С. Черкасова. М., 1979.

16. Маликова Н. Г. О некоторых проблемах, возникающих у учащихся при решении текстовых задачах // Об. мат-лов шк.-семин. «Мастерство учителя в психологически ориентированных моделях обучения». Дидактика математики: сегодня и завтра. Томск, 2001.

Основные термины (генерируются автоматически): задача, решение задач, решение, IV-V, обучение, упражнение, доказательство теоремы, заданная ситуация, конструирование задач, решение задачи.

Чем цель отличается от задачи?

Чем отличается

При современном темпе жизни сложно все успевать, не прибегая к планированию. Не обязательно расписывать весь день по часам – каждый человек ставит перед собой цели и задачи разного масштаба. Но важно понимать, чем отличаются эти понятия.

Что такое цель?

Согласно определению цели, это какой либо предмет, реальный или абстрактный (идеальный), к которому стремится человек. Также это конечный результат, на достижение которого направлены определенные действия. Задаваясь целью, человек заранее создает для себя образ этого результата – это называется постановкой цели. Она может быть двух видов:

• прямая;
• опосредованная.

В первом случае происходит постановка цели, после чего выбираются варианты ее достижения, устанавливается порядок действий. Во втором случае цель формируется уже в процессе выполнения неких действий. Цели также бывают конечными и промежуточными. Обычно промежуточные цели ставятся, если речь идет о каком-то длительном процессе.

Какой должна быть цель, согласно концепции SMART «управления по целям»

Главный вопрос, на который отвечает цель – «Чего именно нужно достигнуть?». Понятие цели фигурирует в различных сферах: технике, строительстве, военном деле, менеджменте и других.

Например, в технике целью называется изменение нынешнего состояния в сторону улучшения (положительная динамика). Значение цели в менеджменте вызывает особый интерес. Так, она должна одновременно служить мотивацией для действий и обязательно быть выполнимой, иначе менеджмент просто теряет смысл.

Интересный факт: цели обязательно должны быть реальными и осуществимыми. В противном случае они становятся несбыточными мечтами. Наличие цели мотивирует человека действовать, а мотивация, в свою очередь, помогает достигать целей.

Цели также бывают краткосрочными и долгосрочными. Первый тип обычно предполагает, что желаемого нужно достигнуть к определенному времени. Долгосрочные цели чаще не имеют временной привязки.

Что такое задача?

Задачей называется проблемная ситуация с четко поставленной целью, а в более узком смысле – что именно необходимо сделать. Также под задачей могут подразумеваться действия, деятельность, единицы работы. Не следует путать понятие с задачей в значении какого-либо поручения, упражнения (в математике, например).

Эксперимент психолога В. Кёлера с обезьяной показал, что животное решает задачи методом проб и ошибок, а также путем озарения

Задача состоит из нескольких компонентов:

• начальная проблемная ситуация;
• правила ее преобразования;
• конечная ситуация, решение (цель).

С точки зрения когнитивной психологии решение задач считается самой сложной функцией интеллекта. Этот процесс предполагает обнаружение проблемной ситуации, постановку задачи и цели, а также нахождение решения.

Чем отличается цель от задачи?

Первый отличительный признак – вопрос, на который отвечают эти понятия:

По последовательности установки сперва обычно выбирается цель (направление работы), после чего выстраиваются задачи. На достижение цели требуется много времени, в то время как на решение задач – меньше. Задачи меняются по мере их выполнения – это единичные шаги, а цель остается одна и та же.

Предположим, что поставленная цель – чистая квартира. Чтобы достигнуть ее, необходимо убрать вещи, вытереть пыль, выбросить мусор и т.д. Все эти действия – задачи в рамках одной цели. Также сложную цель можно разделить на подцели, для каждой их которых будет своя цепочка задач. Например, подцель «убрать вещи» состоит из задач: складывание книг, одежды и др.

Если Вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Как решать задачи по математике

Математика – одна из точных наук, которая подается изучению далеко не каждому школьнику и студенту. Каждый из нас сталкивался с такой проблемой, как непонимание условия задачи, сложный механизм ее решения, отсутствие должных знаний и навыков. Порой кажется, что найти ответ вовсе невозможно. Как же правильно решать задачи по математике?

Математика – одна из точных наук, которая подается изучению далеко не каждому школьнику и студенту. Каждый из нас сталкивался с такой проблемой, как непонимание условия задачи, сложный механизм ее решения, отсутствие должных знаний и навыков. Порой кажется, что найти ответ вовсе невозможно. Как же правильно решать задачи по математике?

Разновидности задач по математике

Все задания в математической среде можно классифицировать по следующим основаниям:

• По содержанию: вычислительные, текстовые, задачи на доказательство, комбинированные (требующие использование разных техник);
• По функциям: развивающие и укрепляющие, контролирующие, дидактические;
• По роли обучения: нацеленные на изучение новых символов и обозначений, нацеленные на применение конкретных формул, направленные на формирование определенных умений и навыков, общеразвивающие задачи;

Каждая задача по-своему уникальна и требует внимания, усидчивости, понимания. Чтобы решить ее, необходимо знать четкий алгоритм действий. Математика – точная наука, которая не терпит отклонений от заданных параметров, предполагает выполнение конкретных действий и фактически не терпит неточностей, размытости и обтекаемости.

Каждая задача имеет определенные параметры (условия) и вопрос, который необходимо решить. В большинстве случаев этот вопрос начинается со слова «сколько».

Алгоритм действий при решении задач по математике

В математике нет ничего непостижимого. Главное, понять суть и найти рациональный способ решения. Для этого потребуется определенный багаж знаний. Людям с математическим складом ума решение задач дается гораздо проще, чем обладателям аналитического мышления.

Чтобы самостоятельно решить математическую задачу (независимо от типа мышления!), достаточно придерживаться следующих правил:

1. Внимательно прочтите условие и постарайтесь определить вид задачи.

Для этого необходимо проанализировать данные параметры и установить, что нужно найти:

— задача с дробями;

— задача на логику;

— составить на основе данных биквадратное уравнение и найти решение;

На данном этапе учащемуся следует понять, что от него требуют, что нужно найти.

1. Досконально изучаем условие задачи.

Запомните, математика любит точность, поэтому в задачах не будет содержаться никаких лишних сведений. Все указанные параметры должны быть использованы в ходе решения. Они могут быть применены в разных комбинациях, формулах, но точно будут задействованы все без исключений.

1. Изучайте условия до тех пор, пока не поймете какие действия необходимо произвести, какие формулы использовать.

В образовательных программах материал преподается в рамках конкретных тем, поэтому определить, какая формула нужна на данный момент нетрудно. Важно понять, в каких случаях и какая формула пригодится, чтобы использовать ее в дальнейшем вне заданной темы (например, на контрольных или экзаменах, когда необходимо решить множество задач по всем пройденным курсам).

1. Для упрощения и понимания задачи, переформулируйте ее своими словами.

Такой подход позволит упростить понимание сути задания, а мозг будет руководствоваться собственными мыслями. Лучше всего кратко выписать основные данные, сформировать «дано», чтобы не упустить ни одну деталь из виду.

Нужна помощь преподавателя?

Мы всегда рады Вам помочь!

1. Практически все задачи (кроме логических), можно представить в графической форме.

Такой способ упрощает понимание, концентрирует внимание на отдельных деталях и создает общую картину. Задачу можно представить в виде графика, диаграммы и пр.

1. Попробуйте вспомнить, не встречали ли Вы ранее подобных заданий. Если есть сходства с другими заданиями, попробуйте решить по аналогии с ними.

Такой поход упрощает и делает механизм решения более понятным и очевидным. Главное разобраться, что и куда подставить, в какую формулу, почему и зачем это все делается.

1. Если Вы поняли и сумели самостоятельно подобрать формулу для решения задачи, составить целую комбинацию действий, то это уже половина успеха.

Выпишите необходимые формулы на лист, даже если Вы их знаете наизусть. Мозг человека так устроен, что зрительно лучше воспринимает информацию, чем на слух или память. Составьте подробный план решения задачи по действиям и не отклоняйтесь от него. Затем подставьте имеющиеся значения в формулы, проверьте правильность действий и вычисляйте итог.

Учтите, от ошибки не застрахован никто. Поэтому, если не удалось получить ответ с первого раза или он не совпадает с ожидаемым результатом, следует пересмотреть ход решения. Не сдавайтесь! Терпение и труд все перетрут.

1. Если задача никак не поддается самостоятельному решению, то можно обратиться за помощью к Интернету или квалифицированным специалистам.

Достоинством этого способа является получение готовой задачи, возможность изучения алгоритма ее решения. Недостаток: ленивый школьник или ученик не станет углубляться и стараться понять, как был найден ответ.

Самые распространенные ошибки при решении задач по математике

Не приступайте к решению задачи, если вы не знакомы с темой, не понимаете суть задачи, какие формулы потребуются. Перечитайте основные правила, изучите алгоритм действий, вникните в тему.

Если не удается решить поставленную задачу, то сначала потренируйтесь на более легких примерах. Невозможно покорить Эверест неподготовленным. Даже опытным туристам для покорения новых вершин и расстояний требуются тренировки. Аналогичная тенденция наблюдается в математике: все должно быть постепенно, поэтапно.

Не приступайте к решению, если задачу изучили бегло. Опытные преподаватели отмечают, что решение уже дано в условиях задания, главное, понять: как и какими элементами оперировать. Внимательно изучите все параметры, поймите суть упражнения и что от вас требуется (что найти).

Не торопитесь во время вычислений. Самой распространенной и глупой ошибкой является неправильный расчет. Проверьте все действия, чтобы избежать ошибки или погрешности.

Ученики и студенты не учитывают свойства геометрических фигур, решая задачу по геометрии. В большинстве случаев подобные задания основаны на свойствах фигур.

Решая простейшие и сложные задания, всегда обращайте внимание на определенные действия по формулам, поставленные скобки, порядок проведения расчетов (умножение, сложение и пр.).

Если, решая задачу, Вы сильно устали, то сделайте небольшой «перекур» и с новыми силами вновь приступайте к ее решению. Чтобы выполнять упражнение было интереснее, придумайте себе мотивацию и награду за «победу» в этой нелегкой борьбе.