Что такое сумма точек экстремума

Таким образом, если x₀ – точка максимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x₀) больше всех остальных значений функции.

Определение 2. Точку x₀ называют точкой минимума функции f (x) , если существует интервал (a, b) , такой, что a < x₀ < b , для точек x которого выполнено неравенство

Другими словами, если x₀ – точка минимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x₀) меньше всех остальных значений функции.

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции .

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма

Определение 4. Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

Определение 5. Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, если точка x₀ является критической точкой функции, то точка x₀ либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке x₀ не существует.

Доказательство. Если в точке x₀ у функции y = f (x) не существует производная, то точка x₀ является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке x₀ у функции y = f (x) существует производная, то точка x₀ является стационарной, то есть f ‘ (x₀) = 0 .

Таким образом, в случае, когда точка x₀ является точкой максимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x₀) = 0 . Касательная к графику функции y = f (x) в точке A= (x₀; f (x₀)) параллельна оси Ox .

Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка x₀ является точкой минимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x₀) = 0 .

Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум .

Достаточные условия для существования экстремума функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

Утверждение 3. Рассмотрим функцию f (x) , непрерывную в интервале (a, b), содержащем точку x₀ , производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки x₀ .

а). Если для точек выполнено условие:

б). Если для точек выполнено условие:

Замечание 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак с «+» на «–» , то точка x₀ является точкой максимума функции. Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак с «–» на «+» , то точка x₀ является точкой минимума функции».

Пример исследования поведения функции

Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

и разложим на множители правую часть формулы (3):

На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

Поскольку решением неравенства

то в соответствии с утверждением 1 функция y₁ возрастает на каждом из интервалов и .

С другой стороны, поскольку решением неравенства

то в соответствии с утверждением 1 функция y₁ убывает на интервале (– 2, 0) .

Так как решениями уравнения

Поскольку при переходе через точку x = – 2 производная функции y₁ меняет знак с «+» на «–» (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка x = – 2 является точкой максимума функции y₁ , при этом

При переходе через точку x = 0 производная функции y₁ меняет знак с «–» на «+» (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка x = 0 является точкой минимума функции y₁ , при этом

Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

В силу определения модуля, справедливо равенство

Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции y₁ = x 3 + 3x 2 (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции y = | x 3 + 3x 2 | (рис.11) .

В точке x = – 3 производная функции y = | x 3 + 3x 2 | не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции y = | x 3 + 3x 2 | существует.

Точка x = – 2 является точкой максимума, причем y ( – 2) = 4 .

Функция y = | x 3 + 3x 2 | возрастает на каждом из интервалов (– 3, – 2) и .

Функция y = | x 3 + 3x 2 | убывает на каждом из интервалов и (– 2, 0) .

Найти сумму точек экстремума функции

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Введите график функции

Исследуем график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x).

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Что исследует?

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

• Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
• Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
• Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
• Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
• Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
• Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
• Наклонные асимптоты графика функции: Да
• Четность и нечетность функции: Да
• Минимум и максимум функции: Да

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y = f ( x ) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y = f ( x ) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть ( a ; b ) , где х = а , х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале — π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид — π 2 ; π 2 .

Точки экстремума, экстремумы функции

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≤ f ( x ) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f ( x ) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

• когда f ‘ ( x ) > 0 с x ∈ ( x 0 — ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) < 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой максимума;
• когда f ‘ ( x ) < 0 с x ∈ ( x 0 - ε ; x 0 ) и f ' ( x ) >0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

• когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на — , значит, точка называется максимумом;
• когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с — на + , значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

• найти область определения;
• найти производную функции на этой области;
• определить нули и точки, где функция не существует;
• определение знака производной на интервалах;
• выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 ( x + 1 ) 2 x — 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y ‘ = 2 x + 1 2 x — 2 ‘ = 2 · x + 1 2 ‘ · ( x — 2 ) — ( x + 1 ) 2 · ( x — 2 ) ‘ ( x — 2 ) 2 = = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) ‘ · ( x — 2 ) — ( x + 1 ) 2 · 1 ( x — 2 ) 2 = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x — 2 ) — ( x + 2 ) 2 ( x — 2 ) 2 = = 2 · ( x + 1 ) · ( x — 5 ) ( x — 2 ) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = — 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = — 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y ‘ ( — 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x — 5 ) ( x — 2 ) 2 x = — 2 = 2 · ( — 2 + 1 ) · ( — 2 — 5 ) ( — 2 — 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал — ∞ ; — 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = — 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на — . По первому признаку имеем, что х = — 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y ( — 1 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x — 2 x = — 1 = 2 · ( — 1 + 1 ) 2 — 1 — 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y ( 5 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x — 2 x = 5 = 2 · ( 5 + 1 ) 2 5 — 2 = 24

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y ( — 1 ) = 0 , y m i n = y ( 5 ) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x — 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

— 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y ‘ = 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 ‘ , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 ' , x >0 y ‘ = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x < 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x >0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y ‘ x → 0 — 0 = lim y x → 0 — 0 — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 = — 1 2 · ( 0 — 0 ) 2 — 4 · ( 0 — 0 ) — 22 3 = — 22 3 lim y ‘ x → 0 + 0 = lim y x → 0 — 0 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 = 1 2 · ( 0 + 0 ) 2 — 4 · ( 0 + 0 ) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 — 0 = lim x → 0 — 0 — 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 = = — 1 6 · ( 0 — 0 ) 3 — 2 · ( 0 — 0 ) 2 — 22 3 · ( 0 — 0 ) — 8 = — 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 — 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 = = 1 6 · ( 0 + 0 ) 3 — 2 · ( 0 + 0 ) 2 + 22 3 · ( 0 + 0 ) — 8 = — 8 y ( 0 ) = 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 — 2 · 0 2 + 22 3 · 0 — 8 = — 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

1 2 x 2 — 4 x + 22 3 , x > 0 D = ( — 4 ) 2 — 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 — 4 3 2 · 1 2 = 4 — 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = — 6 , x = — 4 , x = — 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y ‘ ( — 6 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 6 = — 1 2 · — 6 2 — 4 · ( — 6 ) — 22 3 = — 4 3 < 0 y ' ( - 4 ) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · ( - 4 ) 2 - 4 · ( - 4 ) - 22 3 = 2 3 >0 y ‘ ( — 1 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 1 = — 1 2 · ( — 1 ) 2 — 4 · ( — 1 ) — 22 3 = 23 6 < 0 y ' ( 1 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y ‘ ( 4 ) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 — 4 · 4 + 22 3 = — 2 3 < 0 y ' ( 6 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 >0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = — 4 — 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = — 4 + 2 3 3 , x = 4 — 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 + 2 3 3 = — 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 — 2 3 3 = 8 27 3

Графическое изображение

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = — 8 27 3 y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 8 27 3

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f ‘ ( x 0 ) = 0 , тогда при ее f » ( x 0 ) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f » ( x 0 ) < 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Для начала находим область определения. Получаем, что

D ( y ) : x ≥ 0 x ≠ — 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y ‘ = 8 x x + 1 ‘ = 8 · x ‘ · ( x + 1 ) — x · ( x + 1 ) ‘ ( x + 1 ) 2 = = 8 · 1 2 x · ( x + 1 ) — x · 1 ( x + 1 ) 2 = 4 · x + 1 — 2 x ( x + 1 ) 2 · x = 4 · — x + 1 ( x + 1 ) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y » = 4 · — x + 1 ( x + 1 ) 2 · x ‘ = = 4 · ( — x + 1 ) ‘ · ( x + 1 ) 2 · x — ( — x + 1 ) · x + 1 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · ( — 1 ) · ( x + 1 ) 2 · x — ( — x + 1 ) · x + 1 2 ‘ · x + ( x + 1 ) 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · — ( x + 1 ) 2 x — ( — x + 1 ) · 2 x + 1 ( x + 1 ) ‘ x + ( x + 1 ) 2 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = — ( x + 1 ) 2 x — ( — x + 1 ) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = 2 · 3 x 2 — 6 x — 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y » ( 1 ) = 2 · 3 · 1 2 — 6 · 1 — 1 ( 1 + 1 ) 3 · ( 1 ) 3 = 2 · — 4 8 = — 1 < 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y ( 1 ) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y ( 1 ) = 4 ..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y = f ( x ) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f ‘ ( x 0 ) = f » ( x 0 ) = f ‘ ‘ ‘ ( x 0 ) = . . . = f n ( x 0 ) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f ( n + 1 ) ( x 0 ) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f ( n + 1 ) ( x 0 ) < 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 ( x + 1 ) 3 ( x — 3 ) 4 .

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y ‘ = 1 16 x + 1 3 ‘ ( x — 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 x — 3 4 ‘ = = 1 16 ( 3 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 4 ( x — 3 ) 3 ) = = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 3 ( 3 x — 9 + 4 x + 4 ) = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 3 ( 7 x — 5 )

Данная производная обратится в ноль при x 1 = — 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y » = 1 16 x + 1 2 ( x — 3 ) 3 ( 7 x — 5 ) ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( 21 x 2 — 30 x — 3 ) y » ( — 1 ) = 0 y » 5 7 = — 36864 2401 < 0 y '' ( 3 ) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f ( n + 1 ) 5 7 < 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = — 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y ‘ ‘ ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( 21 x 2 — 30 x — 3 ) ‘ = = 1 8 ( x — 3 ) ( 105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93 ) y ‘ ‘ ‘ ( — 1 ) = 96 ≠ 0 y ‘ ‘ ‘ ( 3 ) = 0

Значит, x 1 = — 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f ( n + 1 ) ( — 1 ) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y ( 4 ) = 1 8 ( x — 3 ) ( 105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93 ) ‘ = = 1 2 ( 105 x 3 — 405 x 2 + 315 x + 57 ) y ( 4 ) ( 3 ) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 — точкой минимума заданной функции.

Экстремум функции — определение и вычисление с примерами решения

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки называется любой промежуток, для которого является внутренней точкой.

Точка называется точкой минимума (максимума) функции если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

Точки минимума и максимума обозначают соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их:

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции точка является точкой максимума (рис. 77). Её максимум:

Для функции точка является точкой минимума (рис. 78). Её минимум:

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: — точки максимума; и — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция непрерывна на промежутке и — её критическая точка, Тогда: точка при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции отрицательная, то при переходе через точку возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае — точка максимума. Если же при переходе через точку убывание функции изменяется на возрастание, то — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке равна нулю, а слева и справа от производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то не является точкой экстремума.

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение:

Критические точки функции: При переходе через точку производная меняет знаке поэтому —точка максимума. При переходе через точку производная меняет знак с поэтому — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;
2. исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
3. найти точки пересечения графика функции с осями координат;
4. исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
5. найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
6. найти асимптоты графика функции;
7. построить график функции.

Пример №553

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось Ось он пересекает в точке с ординатой

Критические точки:

Составим и заполним таблицу.

На промежутках функция возрастает, на промежутках функция убывает. — точка максимума, —точка минимума,

Область значений функции:

График функции имеет вертикальную асимптоту так как

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки Чётная функция может. Например, функция

Пример №555

Существуют ли такие числа при которых имеет экстремум функция

Решение:

При любых действительных значениях В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение.

2) Функция — нечётная, поскольку

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке

3) если — график пересекает оси координат только в точке

4) Найдём производную функции:

Очевидно, что для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

График функции имеет вертикальные асимптоты и (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Связь производной с точками экстремума функции

В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа).

(blacktriangleright) (color>) (локального) (color>) функции – это точки (локального) максимума и минимума.

Окрестность – это интервал вокруг точки некоторого радиуса. Например, окрестностью точки (x=0) можно назвать интервал ((-1;1)) , или ((-0,1;0,1)) , или ((-0,0000001;0,0000001)) и т.д.

(blacktriangleright) (color>) (color>) (x_) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: (f(x)leqslant f(x_)) для любого (x) из некоторой окрестности точки (x_) .

То есть можно найти такую окрестность, что для любой точки из этой окрестности будет выполнено данное неравенство.
Заметим, что, например, если функция определена на отрезке ([0;2]) , то все точки интервала ((0;2)) будут внутренними, а вот точки (0) и (2) – граничными (то есть не внутренними).

(blacktriangleright) (color>) (color>) (x_) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: (f(x)geqslant f(x_)) для любого (x) из некоторой окрестности точки (x_) .

Например, для точки (C) за окрестность можно взять интервал ((3;5)) или даже ((2;6)) , а можно совсем маленький — ((4-0,01;4+0,01)) .

Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.

(blacktriangleright) Если производная (f’) в точке (x) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “ (+) ” на “ (-) ” , то эта точка является точкой максимума.
Заметим также, что если производная (f’) в точке (x) не существует и меняет свой знак слева направо с “ (+) ” на “ (-) ” (но (x) – внутренняя точка области определения функции (f,) !), то эта точка является точкой максимума.

Пример: в точке (A) производная равна нулю и эта точка является точкой максимума; в точке (C) производная не “равна нулю”, а не существует, при этом точка (C) также является точкой максимума.

(blacktriangleright) Если производная в точке (x) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “ (-) ” на “ (+) ” , то эта точка является точкой минимума.
Также, если производная (f’) в точке (x) не существует и меняет свой знак слева направо с “ (-) ” на “ (+) ” (но (x) – внутренняя точка области определения функции (f,) !), то эта точка является точкой минимума.

(blacktriangleright) Заметим, что точки экстремума – это значение абсциссы (x) .

(blacktriangleright) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума.

На рисунке изображен график производной функции (f(x)) , определенной на отрезке ([-10;37]) . Найдите количество точек максимума функции (f(x)) на отрезке ([0;37]) .

Точка максимума – значение (x) , в котором производная меняет свой знак с “ (+) ” на “ (-) ”. Следовательно, в этой точке ее график пересекает ось абсцисс “сверху вниз” (если двигаться по рисунку слева направо). Отметим отрезок ([0;37]) и увидим, что таких точек 2:

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-2,4; 8,7)) . Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке ([1;6]) .

Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума – это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: (x=-1; 0; 2; 4; 5; 8.) Из них на отрезке ([1;6]) лежат только точки (2; 4; 5) , следовательно, их сумма равна (2+4+5=11.)

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-3; 8,5)) . Найдите сумму точек экстремума этой функции.

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (0) , (4) и (8) , а локально максимальные значения в точках (-2) , (1) и (6) . Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна (0 + 4 + 8 + (-2) + 1 + 6 = 17) .

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-2,4; 8,7)) . Найдите сумму точек экстремума этой функции.

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (-1) , (2) и (5) , а локально максимальные значения в точках (0) , (4) и (8) . Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна (-1 + 2 + 5 + 0 + 4 + 8 = 18) .

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-3; 9)) . Найдите произведение точек экстремума этой функции.

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (-1) и (5) , а локально максимальные значения в точках (-2) , (4) и (8) . Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно ((-1)cdot 5cdot (-2)cdot 4cdot 8 = 320) .

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-2.8; 7.8)) . Найдите произведение точек экстремума этой функции.

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (1) и (4) , а локально максимальные значения в точках (-2) , (3) и (7) . Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно (1cdot 4cdot (-2)cdot 3cdot 7 = -168) .

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-1; 8)) . В какой точке отрезка ([2; 5]) функция (y = f(x)) принимает наибольшее значение?

По рисунку можно определить, что функция (y = f'(x)) на отрезке ([2; 5]) принимает неположительные значения, при этом (f'(2) = 0) . Так как на полуинтервале ((2; 5]) производная функции (f(x)) отрицательна, то сама функция (f(x)) на ((2; 5]) убывает, тогда (y = f(x)) на отрезке ([2; 5]) принимает наибольшее значение при (x = 2) .

Итоговый экзамен по математике для выпускников 11-х классов обязательно включает задания на поиск точек максимума и минимума функциональных зависимостей. Их решение проводится аналитически – методом дифференцирования. Применение производной для исследования функции на экстремум сокращает время анализа и позволяет представить общий вид графика зависимости еще до выполнения построений.

Обучающий ресурс «Школково» позволит учащимся освежить в памяти главные моменты темы – уточнить теоретические знания и отработать их в решении ряда задач. Наш подход к обучению в отношении поиска точек экстремума функции через производную в типовых заданиях ЕГЭ основан на принципе глубокой взаимосвязи теории и практики. Сначала ученик читает правила «Теоретической справки», потом смотрит видео с объяснениями учителя, а затем работает с реальным педагогом. В процессе просмотра предлагаемых на сайте вебинаров можно задать интересующие вопросы и получить помощь в решении конкретных задач.

В разделе «Каталог» имеются подборки тематических заданий на нахождение точек экстремума функции с помощью производной, а также нахождения производной угла наклона касательной. Каждый пример содержит готовое решение и правильный ответ, с которыми можно ознакомиться после окончания самостоятельной работы. «Конструктор» примерных вариантов ЕГЭ позволит провести исследование экстремумов функций с помощью производных в ходе пробного выполнения экзаменационной работы.

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Точка экстремума функции — это точка области определения функции, в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции.

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций. И ещё потребуются таблица производных простых функций и таблица производных сложных функций (откроются в новом окне), так как в примерах указано, какая именно табличная производная найдена.

Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).

Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.