Что такое зависимость в математике простыми словами

Следовательно, ( y=b) – это горизонтальная асимптота.

Алгоритм построения графика функции ( displaystyle y=frac+b)

1. Определяем коэффициенты ( displaystyle k), ( displaystyle a) и ( displaystyle b).
2. Строим график функции ( displaystyle y=frac) (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).
3. График должен быть сдвинут вправо на ( displaystyle a). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Oy) сдвигаем влево на ( displaystyle a).
4. График должен быть сдвинут вверх на ( displaystyle b). Но проще двигать не график, а оси, так что ось ( displaystyle Ox) сдвигаем вниз на ( displaystyle b).
5. Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 2) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Что такое функция

Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость?

Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную.

Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Ну и на всякий случай немного повторим…

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому значению»?

Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость. Например, для функции ( y=sqrt) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида ( displaystyle y=frac), где ( kne 0).

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

Давай определим область определения. Чему может быть равен ( x)? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это ( 0), поэтому ( xne 0):

( Dleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right))

или, что то же самое,

( Dleft( y right)=mathbbbackslash left< 0 right>)

Такая запись означает, что ( x) может быть любым числом, кроме ( 0).

• Знак «( mathbb)» обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел.
• Знаком «( backslash )» обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»).
• Число ( 0) в фигурных скобках означает просто число ( 0).

Получается, что из всех возможных чисел мы исключаем ( 0)).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если ( kne 0), то на что бы мы его не делили, ( 0) не получится:

( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)) или ( Eleft( y right)=mathbbbackslash left< 0 right>).

Также возможны некоторые вариации формулы ( y=frac). Например, ( y=frac) – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.

Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

• ( Dleft( y right)=left( -infty ;-a right)cup left( -a;+infty right))
• ( Eleft( y right)=left( -infty ;0 right)cup left( 0;+infty right)).

Давай посмотрим на такую функцию: ( displaystyle y=frac^>-25>).

Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении ( x) увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально?

Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: ( xne 5).

Почему так? А потому, что выражение ( left( x-5 right)) было в исходном выражении в знаменателе, поэтому если мы возьмём значение ( x=5) и подставим его в исходную функцию (а ведь именно её нам нужно исследовать), то что мы получим?

Ноль, делённый на ноль. Но ведь на ноль нельзя делить ничего, даже другой ноль. Поэтому ( x) никак не может быть равен ( 5).

Но почему тогда мы также не пишем ( xne -5)? Оно ведь тоже в знаменателе!

А всё потому, что оно как было в знаменателе, так там и осталось, следовательно мы и так видим, что такое значение икса невозможно.

А поэтому — зачем лишний раз писать? Да-да, математики — народ ленивый, без надобности напрягаться не станут:)

Вот еще пример: ( displaystyle y=frac).

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число (( 3)), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю.

Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

Ух ты! Снова получается обратная пропорциональность, только теперь к ней еще прибавляется число ( displaystyle 1).

Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости

Прямая и обратная пропорциональность

Чем старше дерево, тем оно выше. Чем медленнее темп, тем дольше идти до школы. Эти и другие процессы можно описать математическим языком в виде прямой и обратной пропорциональной зависимости. Как это делать — расскажем в этой статье.

О чем эта статья:

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.

Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;

периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;

стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Вспомним формулу для определения пути через скорость и время:

Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений:

Найдем скорость второго автомобиля:

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней, если они пишут с такой же скоростью?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

14 (постов) / 8 (дней) × х (блогеров) = 420 (постов) / 12 (дней)

Вспомним основное свойство пропорции, согласно которому:

14x × 12 = 420 × 8

х = (420 × / (14 × 12)

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;

при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;

количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Значение слова «зависимость»

1. Состояние и положение зависимого. Крепостная зависимость. □ Нужда, бедность, жизнь из милости в чужих людях, полная зависимость от чужих людей — тяжелы всякому. С. Аксаков, Семейная хроника. Дядя Сипягин приютил Марианну у себя в доме. Но жить в зависимости было ей тошно. Тургенев, Новь.

2. Обусловленность чего-л. какими-л. обстоятельствами, какой-л. причиной и т. п. Каждый невольно задумался о роковой зависимости жизни и счастия человека от случайностей и пустяков. Чехов, Волк.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Зависимость (в математика) — соответствие между элементами двух множеств, при которой каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Зависимость (статистика) — свойство переменной, изменения которой определяются изменениями других, независимых, переменных.

Зависимость (аддикция) — навязчивая потребность, подвигающая человека к определенной деятельности:

Физическая зависимость — зависимость, сопровождающаяся синдромом отмены при прекращении приёма вещества.

Нехимическая зависимость, например:

Игровая зависимость — навязчивое увлечение азартными играми.

Зависимость от компьютерных игр.

Интернет-зависимость — навязчивое желание подключиться к Интернету и болезненная неспособность вовремя отключиться от него.

Тату-зависимость — психологическая зависимость, проявляющаяся в желании модифицировать тело с помощью татуировок.

ЗАВИ’СИМОСТЬ, и, мн. нет, ж. (книжн.). 1. Подчинение чьей-н. воле, обусловленность чьего-н. поведения волей кого-н. Она находилась в полной зависимости от своих родных. Крепостная з. (см. крепостной). 2. Обусловленность чего-н. чем-н., отношение чего-н. к чему-н. другому, как следствия к причине. Наше строительство находится в зависимости от степени участия в нем широких масс. В зависимости от обстоятельств. 3. Грамматическая подчиненность одного слова другому (грам.). Синтаксическая з.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

зави́симость

1. свойство или состояние по значению прилагательного зависимый; подверженность влиянию ◆ Зависимость урожая от погоды.

2. болезненная привязанность к чему-либо ◆ Зависимость от шефа.

3. научн. функция, связь, описываемая математическим выражением ◆ Зависимость давления газа от температуры и объёма ◆ График зависимости популяции бактерий от времени.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова свёзший (прилагательное):

Ассоциации к слову «зависимость&raquo

Синонимы к слову «зависимость&raquo

Предложения со словом «зависимость&raquo

• В подобных случаях статистика опирается на закон больших чисел, который характеризует прямую зависимость полного проявления закономерности от числа наблюдений.

Цитаты из русской классики со словом «зависимость»

• Итак, представление наше о свободе и необходимости постепенно уменьшается и увеличивается, смотря по большей или меньшей связи с внешним миром, по бòльшему или меньшему отдалению времени и бòльшей или меньшей зависимости от причин, в которых мы рассматриваем явление жизни человека.

Сочетаемость слова «зависимость&raquo

Какой бывает «зависимость»

Понятия, связанные со словом «зависимость»

Проектная сеть — технологическая платформа, онлайн-сервис или веб-сайт, предназначенные для предоставления возможности самоорганизации участникам, обладающим ключевыми компетенциями, в проектную команду, для выполнения мероприятий с изначально установленными целями, достижение которых определяет завершение проекта.

Теория характеристик труда (теория основных характеристик труда; теория значимых характеристик труда; теория субъективно важных характеристик работы) — один из теоретических подходов дескриптивного типа к трудовой мотивации. Теория предложена Дж. Хакменом и Г. Р. Олдхамом в начале 1970-х годов. Учёные выделили пять основных характеристик содержания трудового процесса, который, по их мнению, отражают полное представление об особенностях репрезентации образа трудовой ситуации у сотрудника и оказывают.

Структурная схема — это совокупность элементарных звеньев объекта и связей между ними, один из видов графической модели. Под элементарным звеном подразумевается часть объекта, системы управления и т. д., которая реализует элементарную функцию.

Иерархическая организация — структура с вертикальной формой управления (контроля) элементами, входящими в неё. Фактически это пирамида, каждым уровнем которой управляет более высокий уровень.

Кривая светового насыщения фотосинтеза — это графическое представление эмпирической взаимосвязи между интенсивностью света и фотосинтезом. По сути своей она представляет собой модификацию уравнения Михаэлиса-Ментен. Кривая показывает положительную корреляцию между интенсивностью света и скоростью фотосинтеза: по оси х отложены значения независимой переменной (освещенность), а по оси y — значение зависимой переменной (скорость фотосинтеза).

Что такое зависимость в математике простыми словами

• Главная
• Линейная зависимость величин в практическом применении

Линейная зависимость величин в практическом применении

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

В нашей жизни часто встречаются ситуации, в которых значение одной величины зависит от другой. Например, время, за которое будет пройден путь, зависит от скорости; стоимость товара зависит от количества товара. Прирост вклада в сберегательном банке зависит от суммы вклада при одном и том же проценте; производство продукции и расход материала, содержание вещества в предмете зависит от массы предмета и т. д. При этом, значению одной величины по какому-то правилу соответствует определенное значение другой величины. Также мои родители планируют летом поехать отдыхать. И спорят по этому поводу, как выгоднее поехать? Мне стало интересно, можно ли использовать линейную зависимость двух величин в данной ситуации и узнать самый выгодный способ поездки.

Проблема: Как можно использовать понятие линейной зависимости одной величины от другой в реальной ситуации, например для расчёта выгодного способа поездки.

Для решения этой проблемы поставим следующую цель.

Цель: научится определять и задавать линейную зависимость величин по реальным условиям, использовать понятие линейной зависимости и ее графического изображения для решения практических задач.

Чтобы достичь поставленной цели необходимо выполнение следующих задач:

Изучить понятие линейной функции и ее графика.

Привести случаи из реальной жизни с линейной зависимостью величин.

Научиться задавать линейную зависимость формулой вида у = кх+в по реальным условиям.

Изучить способ линейного программирования в задачах экономического содержания.

Научиться применять график линейной зависимости при выборе оптимального значения величины, заданной линейными условиями.

Методы выполнения проекта:

Анализ и синтез

Объект исследования: задачи реальных ситуаций с линейными зависимостями.

Предмет исследования: использование линейной зависимости и графиков линейной функции в реальных ситуациях.

2. Основная часть

2.1 Теоретическая часть.

2.1.1 История появления понятия функции.

В математике зависимость одной величины от другой, при которой каждому допустимому значению одной величины соответствует определенное единственное значение другой величины, называют функцией или функциональной зависимостью. Идея функциональной зависимости восходит из древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга зависит от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S = 3 r 2 . В данном случаи, говорят об аналитическом задании функции, то есть вычисляют значение площади круга с помощью формулы. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев.

После введения декартовой прямоугольной системы координат — это система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости, стало возможным изображать на ней пары значений взаимосвязанных величин в виде множества точек – графика зависимости. Прямоугольная система координат -наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Её обычно называют декартовой по имени её создателя французского философа, математика, механик, физика и физиолога, Рене Декарта.

Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Основная заслуга в создании современного метода координат и принадлежит французскому математику Рене Декарту. До наших времён дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)– того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — декартова система координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики, в частности, понятия функциональной зависимости.

В 1671 году английский физик, математик, механик и астроном, автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», создатель многих других математических теорий, Исаа́к Ньютон в своей статье под функцией определял переменную величину, которая изменяется с течением времени.

2.1.2 Понятие функции.

Зависимость одной величины от другой, при которой каждому допустимому значению независимой переменной х соответствует определенное единственное значение зависимой переменной у, называют функцией или функциональной зависимостью. Обозначение y = f ( x ) как раз и выражает такую зависимость одной величины от другой. Величина у зависит от величины x по определенному правилу, обозначаемому f. Другими словами, чтобы вычислить значение величины у, надо по некоторому правилу f выполнить действия со значением величины х. В этом случаи х является независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией.

Линейная зависимость или функция — это функция вида y = kx+b, где х- независимая переменная, k и b ­– любые числа (коэффициенты).

Приведем примеры линейных зависимостей в реальных ситуациях.

Формула < F _T = g m > – это зависимость силы тяжести F_T от массы m , где g-это постоянное значение.

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости (воды). Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

При вычислении расходов проезда на машине учитывают расходы на бензин в сумме с затратами на питание.

С = 45х+ 1500, где к =45(цена в рублях литра бензина), х— количество литров, b = 1500 – затраты на питание. Поэтому стоимость проезда на легковом автомобиле –это линейная функция, где х- независимая величина, а С- зависимая переменная.

Рассмотрим линейную функцию, где k =2, b =1, тогда у=2х+1 и каждой паре чисел (х ; у) поставим в соответствие точку с координатами (х ; у) на координатной плоскости. Множество таких точек будет задавать график этой функции.

х=1, то у=2∙1+1=3 (1;3), х=2, то у=2∙2+1=5 (2;5), х=0, то у=2∙0+1=1 (0;1)

Можно заметить, что точки выстраиваются по прямой. Значит график линейной функции y= kx+b – это прямая линия.

Эта прямая(рис.1) графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у=2х+1.

На рисунке 2 закрашенная часть плоскости графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у > 2х+1. То есть, все точки из закрашенной части плоскости имеют значение ординаты у больше, чем значение ординат точек, лежащих на графике прямой для линейной функции у=2х+1.

2.1.3 Понятие линейного программирования.

Линейное программирование — это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, в которых условия зависимости величин описываются линейными уравнениями или неравенствами.

Издержки при перевозке груза двумя видами транспорта вычисляются по формуламу₁=100+40х, у₂=200+20х, где х — расстояние перевозок в сотнях километров, а у рублей — транспортные расходы по перевозке груза первым и вторым способом. Найти: на какие расстояния и каким видом транспорта перевозки груза будут более экономичными.

На одной координатной плоскости построим графики транспортных расходов. Известно, что график линейной функции есть прямая линия, а положение прямой определяется двумя точками. Найдем координаты этих точек.

Издержки по перевозке груза на любые расстояния как первым, так и вторым видом транспорта достаточно просто определяются, по величине у из графика функций. Координатами точки пересечения А являются х=5 , у=300. То есть, при перевозке на 500 км издержки одинаковы и составляют 300 рублей.

Ответ: если груз нужно перевести на расстояние менее чем пять сотен километров, то его выгодно будет перевозить первым видом транспорта. А если груз нужно перевести на расстояние больше, чем пять сотен километров, то выгоднее будет перевозить вторым видом транспорта.

2.1.4 Понятие системы уравнений.

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Например, система двух линейных уравнений с двумя переменными х и у.

Решим эту систему графически:

1) -2у=12-3х, у=1,5х-6

Далее начертим графики обоих линейных функций. Координаты точки пересечения двух прямых задают пару значений (х;у), которая является решением данной системы.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании.

2.2 Практическая часть

Задача 1: Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее время находится от него в 10 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t часов, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 60 км/ч?

Зависимость будет выражаться линейной функцией вида S=60t+10. Для наглядности можно изобразить график пути в зависимости от времени.

t=1, то S=60х1=10 =70 (1; 70)

t=0, то S=60×0+10 =10 (0;10)

Задача 2: Задать зависимость длины окружности от длины её радиуса.

Опытным путём на уроке математики было установлено, что длина окружности зависит от её радиуса. Эта зависимость выражается формулой C=2πR и является прямопропорциональной зависимостью с угловым коэффициентом к =2 π. Функцией здесь является длина окружности, которая зависит от радиуса окружности.

R=1,то C=2π1 =2π =6,28 (1;6.28)

R=0, то C=2π0 =0 (0;0)

Задача 3. В контейнере находятся коробки и ящики общим числом более 16. Если вдвое увеличить количество коробок и на 20 увеличить количество ящиков, то ящиков будет больше, чем коробок. Если же, не меняя количества коробок, удвоить количество ящиков, то их будет все — таки меньше, чем коробок. Сколько коробок было в контейнере?

Если взять количество коробок за Х, а количество ящиков в контейнере за У , то условие задачи можно записать системой (т.е. условия должны выполняться одновременно при одних и тех же значениях переменных)

Построим графики по формуле линейной зависимости у = kx+m

На координатной плоскости найдем множество точек (х ; у), удовлетворяющих одновременно этим трем условиям. Точки, лежащие внутри треугольника АВС, будут удовлетворять данным условиям. Только одна точка с натуральными координатами (12;5) находится внутри треугольника, то есть коробок 12 , а ящиков 5.

Ответ: В контейнере было 12 коробок и 5 ящиков.

Лабораторные испытания модели речного глиссера новой конструкции проводятся в испытательном бассейне, причем предусмотрена возможность варьирования, как собственной скорости глиссера, так и скорость течения.

Каковы должны быть эти скорости, чтобы модель глиссера двигалась равномерно, прошла 60м по течению за время, не меньшее 5,4сек., а такое же расстояние против течения – за время, не превышающее 7,2 сек.?

Обозначим абсолютные значения собственной скорости глиссера и скорости течения соотвецтвено через у и х. Таким образом, получим следующую систему неравенств:

Умножим обе части неравенства на (у+х) >0 и получим:

Дальше умножим обе части неравенства на ,и получим:

Теперь построим график линейной зависимости

Умножим обе части неравенства на (у-х) >0 и получим:

Дальше умножим обе части неравенства на и получим:

Теперь построим график линейной зависимости У=30+х

Из всех приведённых выше вычислений системы (1) следует следующий вывод

Ответ: (30+х) ≤у≤ (40-х) ; 0

Числовой пример. Пусть х=2 , тогда 32 или на рисунке точка с координатами (2;38).

Данный рисунок даёт геометрическую интерпретацию решения системы (1). Как видно из этого рисунка, условиям данной задачи удовлетворяют координаты тех точек, которые лежат внутри треугольника, образованного прямыми у=40-х, у=х+30 и осью ординат, причем из точек контура этого треугольника исключаются точки, принадлежащие оси ординат.

Семья из трех человек планирует поездку на море. Они могут поехать двумя способами: первый- это поездка на машине по путёвке в санаторий, а второй — поездка на поезде с самостоятельным заселением и покупкой продуктов. Известно, что если семья едет в санаторий, то стоимость питания и проживания на семью в день составит 6000 руб, а стоимость проезда на машине туда и обратно составит 20000 рублей. А если они едут самостоятельно, то стоимость питания на семью в день составит 4500 руб, а проезд на поезде составит 44000 руб.

Какой из выше перечисленных способов поездки выгодней, и для какого количества дней?

Данный график показывает графически решение данной задачи.

Ответ: если поездка будет длиться менее 16 дней то выгоднее ехать первым способом, а если время поездки больше 16 дней, то выгоднее ехать вторым способом. Также если ехать на 16 дней то оба способа будут одинаково выгодными.

3.Заключение

В заключении можно сказать что, я рассмотрел ситуации, некоторые задачи, встречающиеся в реальной жизни, в том числе рассчитал выгодный способ семейной поездки, используя умения определять и задавать линейную зависимость величин, использовать понятие линейной зависимости и ее графического изображения для решения практических задач. Соответственно цель данного проекта выполнена.

Выбранная мною тема достаточно актуальна для школьников, ведь в школьном курсе алгебры изучаются различные функциональные зависимости, на основании которых строятся математические модели реальных ситуаций. В дальнейшем данные знания помогут мне в алгебре при изучении линейных уравнений с двумя переменными и решении их в целых числах, а также при решении уравнений, неравенств и их систем графическим способом, при решении задач на нахождение оптимального значения. В курсе естественных наук рассматриваются различные реальные процессы, изучение которых основывается также на различных зависимостях, в том числе и линейных.

Также в профессиональной деятельности в задачах производства линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. Например, этим способом решают задачи рационального использования сырья и материалов; составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи); управления производственными запасами; и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

4. Рефлексия

В ходе выполнения этого проекта я изучил понятие линейной функции и ее графика, научился задавать линейную зависимость формулой вида у=кх+в по реальным условиям, а также применять график линейной зависимости при выборе оптимального значения величины, заданной линейными условиями при решении практических задач с экономическим и физическим содержанием.

Функции, способы задания и свойства. Графики элементарных функций. Переменные. Простейшие зависимости

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем».

Эти слова, принадлежащие Ф. Энгельсу, ярко характеризуют новый этап в развитии математики, который связан с именами великих ученых XVII в.: Декарта, Ньютона и Лейбница. На основе их работ сформировалось понятие функции, были разработаны методы исследования функций, которые в течение трехсот лет остаются основным инструментом изучения окружающего мира с помощью математики.

Математика всегда была связана с вычислениями и формулами. Особенно много формул было получено при решении задач измерения — тысячелетия назад люди овладели формулами вычисления длин, площадей и объемов простейших фигур.

Математический анализ рассматривает формулу как соотношение между меняющимися, переменными величинами. Как изменится точность вычисления объема шара, если точность измерения его радиуса изменить на одну сотую? Это типичный вопрос математического анализа. Ответ на него можно получить с помощью преобразований, так как формула объема шара не слишком сложна. Однако ответ на аналогичный вопрос, связанный с формулой Герона, получить алгебраическими средствами трудно. Математический анализ создал методы, с помощью которых можно следить за характером изменения связанных между собой величин.

Переменная — это общий термин для обозначения различных меняющихся величин. Например, рассматривая поведение газа в замкнутом объеме, можно измерить его температуру Т, его объем V, оказываемое им давление р. Наблюдая за свободно падающим телом, можно измерить длину пути s, пройденного телом за время t, его скорость v в момент времени t, его кинетическую энергию Е в момент времени t и т. д.

В этих примерах участвуют различные переменные величины, или просто переменные.

Простейшие зависимости

В огромном море зависимостей между переменными можно выделить три типа простейших зависимостей, которые встречаются чаще всего,— это прямая и обратная пропорциональность и квадратичная зависимость.

Пусть х и у — две переменные.

1) Говорят, что переменные x и у связаны прямой пропорциональной зависимостью, если их отношение постоянно. С помощью формул эту зависимость можно записать так: или , где k — постоянное число, .

2) Говорят, что переменные x и у связаны обратной пропорциональной зависимостью, если их произведение постоянно. Запишем эту зависимость с помощью формул или , где c — постоянное число, .

3) Говорят, что переменная у квадратично зависит от переменной x, если ее значения можно вычислить по формуле , где a — постоянное число, .

Понятие функции. Способы задания функций

Впервые термин «функция» ввел в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический налет». В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = а> во множество В = b>, по которому каждому элементу поставлен в соответствие определенный элемент ». Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Функция обычно обозначается одной буквой, например f. Значение функции f в точке x обозначается f (x).

Первый способ задания функции: табличный. Если множество A конечно и состоит из N элементов , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе . Часто это делают в виде таблицы:

Урок 23 Бесплатно Прямая и обратная пропорциональные зависимости

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Прямая и обратная пропорциональность

Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

Пропорциональность — это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.

Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

Прямая пропорциональность выражается так: (mathbf)

Обратная пропорциональность выражается так: (mathbf>)

где k — это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

x и y величины, зависящие друг от друга.

Пример

Площадь прямоугольника равна (mathbf), где S— это площадь прямоугольника, а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.

Если один из множителей произведения — постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.

Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

Ширина прямоугольника b постоянная величина

b = 4 см

a₁ = 6 см

Увеличим ширину прямоугольника — сторону a₁ на 1 см, получим

a₂ = 7 см

Найдем площади прямоугольников S₁ и S₂

(mathbf = a_ cdot b = 6 cdot 4 = 24>) см 2

(mathbf = a_ cdot b = 7 cdot 4 = 28>) см 2

Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

Рассмотрим другой вариант зависимости

Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

Площадь прямоугольника S постоянная величина

S = 24 см 2

b₁ = 4 см

Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b₁ на 2 см_, получим

b₂ = 6 см

Найдем ширину прямоугольника- сторону a₂

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

1) Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2) Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Алгоритм решение задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

1. Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
2. Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
3. Установить зависимость между величинами
4. В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость

— Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин

— Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.

5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин

6. Составить уравнение

7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)

8. Записать ответ задачи

Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.

Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.

Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.

Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Определение прямой и обратной пропорциональной зависимости

Человеку свойственно характеризовать окружающий мир. Ключевым инструментом при этом являются величины.

Величина представляет собой измеряемое свойство, которым обладает предмет или объект.

В качестве примера величин можно привести возраст растения, высоту здания, скорость движения. Величины обладают взаимными связями, либо не зависят друг от друга.

Изобразим некий прямоугольник в виде квадрата:

Длина, которой измерена сторона этой фигуры, и площадь связаны между собой. При изменении стороны квадрата его площадь увеличивается, либо уменьшается:

На уроках в классе часто можно встретить задачи на движение по прямой или окружности. В качестве объяснения разберем типичный пример. Представим, что ребенок идет в школу с определенной скоростью, которая является величиной. При этом с собой у школьника есть деньги на обед.

Сумма этих денег является другой величиной. Данные величины не зависят друг от друга, так как при изменении скорости денежная сумма останется прежней. Это яркий пример независимых величин.

В жизни можно встретить ситуации, когда по какой-то причине требуется изменить некую величину. Если влиять на нее непосредственно не получается, то можно воздействовать на связанную с ней величину.

Рассмотрим пример из жизни. Предположим, что в тарелке находится очень горячий суп. Его необходимо остудить до комфортной температуры. Распространенным способом остудить жидкость является обеспечение притока холодного воздуха, то есть на суп нужно подуть. С увеличением такого воздействия (первая величина) температура становится ниже (вторая величина). Эти величины являются зависимыми.

От ситуаций примеров можно перейти к более сложным зависимостям. Например, в процессе исследования систем случайных величин повышенное внимание стоит уделить степени и характеру их зависимостей. Она выражена по-разному и может быть более или менее тесной.

В определенных ситуациях случайные величины так тесно связаны, что при наличии информации о значении одной случайной величины достаточно просто определить значение другой величины с высокой точностью.

Возможна и обратная ситуация, демонстрирующая очень слабую зависимость между случайными величинами. Таким образом, подобные величины на практике допустимо считать независимыми.

Понятие независимых случайных величин является одним из ключевых в теории вероятностей.

Случайная величина Y является независимой от случайной величины X в том случае, когда закон, по которому распределяется величина Y, не связан со значением величины Х и ее изменением.

Если речь идет о непрерывных случайных величинах, то условие независимости Y от X выражается таким образом:

f ( y ∣ x ) = f 2 ( y )

Здесь у может принимать любое значение.

Зависимости случайных величин, когда Y зависит от X, можно записать таким образом:

f ( y ∣ x ) ≠ f 2 ( y )

Попробуем доказать взаимность зависимости и независимости случайных величин.

Когда величина Y не зависит от X, то и величина X не зависит от Y.

В действительности, предположим, что зависимость между Y и X отсутствует:

f ( y ∣ x ) = f 2 ( y )

f 1 ( x ) f ( y ∣ x ) = f 2 ( y ) f ( x ∣ y )

f 1 ( x ) = f ( x ∣ y ) , что и требовалось доказать.

Исходя из взаимности зависимости и независимости случайных величин, которая была доказана ранее, сформулируем еще одно определение независимых случайных величин.

Случайные величины X и Y являются независимыми в том случае, когда закон распределения каждой из них не обладает связью с тем, какое значение приняла другая. При невыполнении данного условия величины X и Y являются зависимыми.

В случае независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения будет записана таким образом:

f ( x , y ) = f 1 ( x ) f 2 ( y )

Это означает, что плотность распределения системы независимых случайных величин определена, как результат умножения плотностей распределения отдельных величин, которые включены в состав системы.

В распространенных случаях, исходя из записи функции f ( x , у ) , можно сделать вывод о независимости случайных величин X , Y . Когда плотность распределения f ( x , у ) распадается на произведение пары функций, из которых одна зависит только от х, а другая обладает зависимостью от у, случайные величины являются независимыми.

Плотность распределения системы ( X , Y ) записана в виде:

f ( x , y ) = 1 π 2 ( x 2 + y 2 + x 2 y 2 + 1 ) .

Требуется выяснить, есть ли зависимость между случайными величинами X и Y.

При решении следует в первую очередь выполнить разложение знаменателя на множители:

f ( x , y ) = 1 π ( x 2 + 1 ) 1 π ( y 2 + 1 )

Так как функция f ( x , y ) распалась на произведение пары функций, из которых одна обладает зависимостью лишь от х, а другая имеет зависимость только от у, можно сделать вывод о независимости величин X и Y. В действительности, если применить формулы, получим:

f ( x , y ) = 1 π ( x 2 + 1 ) ∫ — ∞ ∞ d y π ( y 2 + 1 ) = 1 π ( x 2 + 1 )

Аналогичным образом запишем:

f ( x , y ) = 1 π ( y 2 + 1 )

f ( x , y ) = f 1 ( x ) f 2 ( y )

Из чего следует независимость величин X и Y.

Типы зависимости

Математической зависимостью называют соответствие друг другу элементов множеств при условии, что каждый из элементов рассматриваемого множества ставится в соответствие элементу, принадлежащему другому множеству.

Существуют следующие основные типы зависимостей:

1. Прямая зависимость. При увеличении одной величины увеличивается вторая величина. Чем меньше одна величина, тем меньше другая величина.
2. Обратная зависимость. При увеличении одной величины уменьшается вторая величина. Чем меньше одна величина, тем больше вторая величина.

Рассмотрим наглядный пример. В процессе зарядки телефона тратится время. Пусть это будет первая величина. Временной период работы телефона после зарядки обозначим за вторую величину. Чем дольше длится зарядка телефона, тем дольше он работает. Такую ситуацию можно наблюдать до момента полной разрядки аккумулятора.

Другим примером является подогрев воды в чайнике на плите. При увеличении времени этого процесса температура воды повышается. Ситуацию можно наблюдать до момента кипения воды.

Представленные зависимости носят названия прямые. В данном случае, чем больше первая величина, тем больше вторая величина. Чем меньше первая величина, тем меньше и вторая величина.

В окружающем нас мире можно встретить и другие зависимости. К примеру, при увеличении прочитанного количества книг число ошибок в написанном диктанте уменьшается. При подъеме в гору снижается атмосферное давление:

Перечисленные зависимости являются обратными. Чем больше первая величина, тем меньше вторая величина. Чем меньше первая величина, тем больше вторая величина.

В том случае, когда речь идет о прямой зависимости, две величины изменяются в одном направлении, то есть увеличиваются, либо уменьшаются. Когда рассматривается ситуация с обратной зависимостью, изменение величин идет в разные стороны, то есть одна из них увеличивается, а вторая величина уменьшается.

Понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости

Пропорциональность представляет собой зависимость между двумя величинами, когда изменение одной величины сопровождается изменением в аналогичное число раз другой величины.

Существуют следующие виды пропорциональности величин:

• прямая;
• обратная.

Прямая пропорциональность является зависимостью между величинами, когда первая величина зависит от второй величины таким образом, что их отношение не меняется.

Прямо пропорциональные, или пропорциональные, величины представляют собой такие величины, которые обладают прямой пропорциональностью.

Формула пути является простым примером прямой пропорциональности:

• s обозначает путь;
• v определяет скорость;
• t обозначает время.

Если движение равномерное, то путь будет пропорционален времени, в течение которого он был пройден. При скорости 5 км/ч преодоленный путь зависит лишь от времени:

На данном примере можно увидеть увеличение в одинаковое число раз времени и расстояния. Если увеличить время в 2 раза, то при стабильной скорости расстояние аналогично увеличивается в 2 раза.

Здесь скорость v = 5 км/ч играет роль коэффициента прямой пропорциональности, который определяют, как отношение пути ко времени:

5 1 = 10 2 = 20 4 = 40 8 = 80 16 = 5

При стабильном времени равномерного движения расстояние является пропорциональным по отношению к скорости:

В данном случае, коэффициент прямой пропорциональности равен отношению пути к скорости, то есть обозначает время t = 2 ч:

10 5 = 30 15 = 90 45 = 180 90 = 2

Две величины считают прямо пропорциональными, когда увеличение (уменьшение) одной величины в несколько раз сопровождается увеличением (уменьшением) второй величины в аналогичное число раз.

Формула, описывающая прямую пропорциональность:

при y и x, которые являются переменными величинами, k определяет неизменную величину под названием «коэффициент прямой пропорциональности».

Коэффициентом прямой пропорциональности называют отношение значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Коэффициент прямой пропорциональности определяют с помощью формулы:

Обратной пропорциональностью называют зависимость пары величин, когда первая величина увеличивается, что сопровождается пропорциональным уменьшением второй величины.

Обратно пропорциональные величины являются такими величинами, которые обладают обратной пропорциональностью.

В качестве примера обратной пропорциональности можно рассмотреть формулу пути:

• s обозначает путь;
• v определяет скорость;
• t обозначает время.

В процессе преодоления одинакового пути при разных значениях скорости время будет меняться обратно пропорционально этой скорости. Представим, что путь равен 120 км. Зависимость затраченного времени от скорости представим в виде таблицы:

Заметим, что время уменьшается во столько же раз, во сколько возрастает скорость. При увеличении скорости в 2 раза при неизменном расстоянии время, необходимое для преодоления данного расстояния, уменьшается в 2 раза.

Здесь путь играет роль коэффициента обратной пропорциональности и определяется как произведение скорости на время:

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1 , 5 = 120 .

Обратно пропорциональными величинами называют такие две величины, при увеличении одной из которых в определенное количество раз, уменьшается другая величина в аналогичное число раз.

Обратную пропорциональность определяют следующей формулой:

где y и x являются переменными величинами, k представляет собой неизменную величину под названием коэффициент обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности является произведением (равным одному и тому же числу) каких-либо соответствующих друг другу значений обратно пропорциональных переменных y и x.

Коэффициент обратной пропорциональности определяют по формуле:

Связь пропорциональной зависимости с пропорцией

Математической пропорцией называют равенство между отношениями одной или более пар чисел или величин.

Пропорциональными величинами являются две величины, характеризующиеся взаимной зависимостью, с постоянным отношением их значений.

Пропорциональность представляет собой взаимную связь между двумя величинами, когда одна из этих величин, изменяясь, провоцирует изменение другой величины в аналогичное число раз. Другими словами, пропорциональностью называют зависимость одного числа от другого.

Рассмотрим, как соотносятся между собой понятия пропорциональности и пропорции на конкретном примере. Допустим, имеется несколько пропорциональных величин:

• число банок молока;
• стоимость данных банок.

В начальный момент времени было 2 банки с молоком, стоимость которых составляла 100 рублей. При увеличении количества банок в 3 раза их стоимость возрастает аналогично, в 3 раза. Тогда, 6 банок молока стоят 300 рублей. Запишем отношение полученного числа бутылок к начальному:

Измененная стоимость к исходной относится таким образом:

Можно сделать вывод о равенстве записанных отношений:

В результате пропорции равны.

Равенство пропорций присуще любым пропорциональным зависимостям. Когда имеется пара значений одной величины, можно получить два значения для второй величины. При делении нового значения величины на исходное получается отношение, демонстрирующее, во сколько раз изменилась первая величина. Аналогичным образом изменяется вторая величина:

А 2 А 1 = В 2 В 1

Пропорцию допустимо составить и тогда, когда речь идет об обратно пропорциональной зависимости. В качестве примера разберем задачу. Представим, что имеется некое поле площадью 24 кв. м, которое необходимо вспахать.

В этом случае нас интересуют две величины:

• число работников;
• площадь поля.

Предположим, что работников двое. Каждому из них требуется обработать 12 кв. м земли. Если увеличить количество работников до 4 человек, то каждому из них достанется участок площадью 6 кв. м. Заметим, что речь идет об обратной пропорциональности величин.

Таким образом, во сколько раз больше работников, во столько же раз меньше требуется каждому из них вспахать. Представим, что число работников равно N. Площадь земли, которую требуется вспахать каждому, обозначим за S. Если предполагается два работника, то:

Когда на поле трудятся 6 рабочих, получим:

N 2 N 1 = S 2 S 1 .

График прямой и обратной пропорциональной зависимости

Прямая пропорциональность представляет собой частный случай линейной функции. Это объясняется записью формулы у = kх, которая является следствием формулы:

у = k х + b , при b = 0 .

Таким образом, графически прямую пропорциональность изображают в виде прямой. Линия пересекает начало координат, так как, если х = 0 , то у = 0 .

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, пересекающую начало координат.

Алгоритм построения графика прямой пропорциональности:

1. Отметить некую точку графика, которая не является началом координат.
2. Построить прямую, проходящую через данную точку и начало координат.

Попробуем изобразить на графике функцию:

Заметим, что функция представляет собой прямую пропорциональную зависимость. Определим координаты какой-то точки графика:

Пусть это будет точка М (4;2). Отметим ее на графике и построим прямую, согласно записанному алгоритму:

Изображенная прямая является графиком функции у = 0,5х.

Заметим, что график функции у = kх на координатной плоскости расположен так, что зависит от коэффициента k. Согласно формуле:

Таким образом, график функции у = k х пересекает точку с координатами ( 1 ; k ) . Если коэффициент больше нуля, то точка отмечена в первой координатной четверти. При отрицательном значении коэффициента точка расположена в четвертой координатной четверти. В результате, когда k > 0 , график прямой пропорциональной зависимости находится в первой и третьей координатных четвертях.

Приведем несколько примеров графиков.

При разных значениях k графически прямую пропорциональность изображают таким образом:

Далее разберем вопрос о том, как выглядит график обратной пропорциональности на примере функции:

При этом х не равно нулю. Все пары соответственных значений переменных х и у при умножении дают число 12. Переменная у является обратно пропорциональной переменной х. Заметим, что при нулевом значении х функция не имеет смысла. Тогда график функции не пересекает начало координат. Составим таблицу соответствующих значений:

При положительных значениях х значения у также будут положительными. Большим значениям х соответствуют малые значения у. Например:

х = 120 , у = 0 , 1 ;

х = 2400 , у = 0 , 005 .

Если значения х достаточно малы, то значения у достаточно большие. Приведем пример:

х = 0 , 03 , у = 400 .

При отрицательных значениях х значения для у будут также отрицательными. Точки на графике, имеющие координаты со знаком минус, расположены симметрично относительно начала координат точкам графика с положительными координатами. Перенесем на координатную плоскость точки, записанные в таблице:

Через точки можно провести кривую, в состав которой входят две ветви:

Рассмотрим график функции:

За исключением нуля, график расположен на множестве всех чисел. В его состав включены две ветви, занимающие первый и третий координатные углы. Коэффициент обратной пропорциональности равен 12. График называют графиком обратной пропорциональной зависимости, которая рассматривается на множестве всех ненулевых чисел.

Изобразим график функции:

Это будет кривая, которая состоит из двух ветвей во втором и четвертом координатных углах.

График функции, которая описана формулой y = k x , при k, отличном от нуля, представляет собой кривую, включающую в себя две ветви (гипербола).

Рассмотрим несколько типичных примеров.

Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость

Сокол сапсан развивает скорость в 322 км/ч. Требуется рассчитать расстояние, которое он преодолеет с этой скоростью за 2 часа.

Производительность 1 га лесных насаждений составляет 3580 г кислорода за 1 час. Нужно вычислить объем кислорода, произведенного 1 га леса в течение суток.

За 1 час произведено 3580 г

За 24 часа произведено х г

х = 24 · 3580 ÷ 1 = 85920

В течение 3 часов на мельнице было переработано 27 т пшеничной муки. Требуется определить вес муки, которую смололи за 9 ч при стабильной скорости работы.

Здесь масса муки и время работы являются прямо пропорциональными величинами.

Найдем, во сколько раз увеличилось время работы мельницы:

Запишем второе соотношение: отношение массы муки, которую нужно рассчитать, к массе муки, смолотой за 3 часа: