Что такое сумма ряда в математике

(эта запись может быть интересна математикам и сочувствующим)

Меня заинтересовало недавнее видео Майкла Пенна, в котором он показывает, чему равен предел сумм

В общем случае сумма выглядит: 1/(k+1) + 1/(k+2)+. + 1/2k. И вот когда k стремится к бесконечности, эти суммы стремятся к пределу. К какому? ln(2), натуральному логарифму из 2.

В общем, Пенн (это ютубер, американский преподаватель математики в колледже, выкладывает огромное количество отличных видео как и 1-2 курса математики, так и просто решения всяких олимипиадных задач, сложных интегралов итп.) доказывает, чему равен этот предел, с помощью трюка. Это красивый трюк, но я не знаю, как его найти, если не знать о нем.

Трюк состоит в том, чтобы представить эти суммы как интегральные суммы Римана. Если у нас есть интеграл какой-то функции на f на [a,b], и мы разбиваем этот отрезок на k равных частей, то сумма будет выглядеть как ∑f(x_k)*1/k, и в пределе стремится к значению интеграла. Правда, в суммах, представленных выше, нет никакого 1/k, но почему бы не добавить его силой? Например, вместо 1/4+1/5+1/6 мы пишем

3/4* 1/3 + 3/5* 1/3 + 3/6*1/3 = 1/(1+1/3) * 1/3 + 1/(1+2/3) * 1/3 + 1/(1+3/3) * 1/3

и тогда видно, что точки x_k это равномерно взятые на расстоянии 1/k точки между 1 и 2, а функция f это просто f(x) = 1/x. Поскольку антипроизводная от 1/x это ln(x), выходит, что предел сумм равен ln(2)-ln(1) = ln(2)-0 = ln(2), вот и все.

У меня однако есть психологическая проблема с такими трюками. Когда я вижу такое решение, оно мне не нравится и мешает; мне всегда хочется найти «нарративный» путь к ответу, т.е. такой, который по моему пониманию мог бы теоретически прийти в голову человеку, который просто вот пытается решить задачу и использует известные ему сведения. Наверное, есть математики, которые, даже не зная о таком трюке, видят его мгновенно как что-то естественное, но я не такой. Кроме того, мне стало интересно, можно ли решить эту задачу, не используя вообще знания об интеграле и его свойствах, об антипроизводной 1/x итд.

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ РЯД

Первое, что можно сделать с этими суммами — разобраться, как представить их предел в виде суммы ряда.

Обратим внимание, чем отличаются эти суммы друг от друга. Например, когда мы переходим от 1/3+1/4 к 1/4+1/5+1/6, мы «теряем» 1/3 и «приобретаем» 1/5+1/6, но это то же самое, что «приобрести» 1/5-1/6. В общем случае при переходе к k-той сумме мы «приобретаем» 1/(2k-1) — 1/2k. А это позволяет предположить, что если в самом начале все сходится (а это действительно так), то суммы стремятся в пределе к сумме ряда

1 — 1/2 + 1/3 — 1/4 + 1/5 — 1/6.

известного под названием «знакопеременный гармонический ряд». И да, его сумма действительно равна ln(2). Только как это доказать? Один способ мы уже видели — если представить его как предел сумм типа 1/4+1/5+1/6 и предаставить их как Римановы суммы. А как еще?

Вот стандартный способ показать сумму этого ряда. Возьмем функцию f(x) = ln(1+x) и распишем в ряд Тейлора вокруг точки a=0. Получится

f(a) + f'(a)(x-a) + f»(a)(x-a)^2/2! + . =
= 0 + x — x^2/2! + 2x^3/3! — 3x^4/4! = x — x^2/2 + x^3/3 — x^4/4 + x^5/5.

Теперь хотелось бы подставить x=1 и получить, с одной стороны, 1 — 1/2 + 1/3 — 1/4. а с другой f(1) = ln(1+1) = ln(2) и все. Но это не так уж автоматически получается. У этого степенного ряда радиус сходимости 1, и нам не гарантировано, что он сходится на его границе x=1, а если сходится — что сходится к значению f(1). Для этого существует отдельная «теорема Абеля о сходимости рядов», которая именно это и утверждает: что если степенной ряд с радиусом сходимости 1 сходится в x=1, то его значение в x=1 — непрерывное продолжение значений дле меньших иксов. Применив эту теорему, мы получаем, наконец, строгое доказательство суммы знакопеременного гармонического ряда.

(а, кстати, откуда мы знали, что надо смотреть на ln(1+x), какой тут «нарратив»? Красивый эвристический (не вполне строгий) аргумент выглядит так: вместо искомой суммы 1 — 1/2 + 1/3 — 1/4. усложним задачу и сделаем степенной ряд: x — x^2/2 + x^3/3 — x^4/4 + x^5/5. теперь продифференциируем его почленно и получим 1-x+x^2-x^3+x^4. это геометрическая прогрессия с коэффициентом -x, и ее сумма равна 1/(1+x), значит исходный ряд это антипроизводная от 1/(1+x), а это интеграл.

Короче говоря, надо знать все-таки об интеграле 1/x, чтобы догадаться, что нужно начать с ряда Тейлора ln(1+x), нужно знать о рядах Тейлора, и нужно применить теорему Абеля, чтобы оправдать сходимость к нужному значению на границе радиуса сходимости. И тогда все получается.

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Лучшее альтенативное доказательство, что я нашел, выглядит так.

Вернемся к представлению нашего ряда как предела сумм

Попробуем взять экспоненты от этих сумм, зная, что экспонента превращает суммы в произведения — вдруг это нам поможет. Тогда скажем 1/4+1/5+1/6 превращается в

Попробуем использовать свойство экспоненты, которое верно для всех действительных x: e^x >= x+1. Это свойство, действительно, нужно знать (и доказать, об этом ниже). Мы получим, например, что e^(1/4) >= 5/4, e^(1/5) >= 6/5 итд. Их произведение тогда больше или равно 5/4 * 6/5 * 7/6 = 7/4: почти все сократилось!

В общем случае, когда речь идет о сумме 1/(k+1)+. + 1/2k, экспонента этой суммы ограничена снизу дробью (2k+1)/(k+1) = 2 — 1/(k+1). Если теперь устремить k к бесконечности, то эта нижняя граница стремится, очевидно, к 2. А раз это экспонента от суммы, то нижняя граница самих сумм стремится к ln(2).

Можем ли мы ограничить эти экспоненты еще как-то и сверху? Вспомним, что знак неравенства меняется на противоположный, когда мы переворачиваем дроби, а в степенях это достигается с помощью отрицательной степени. То есть, если в неравенстве e^x >= x+1 мы подставим -x, то получим 1/e^x >= 1-x, или (предполагая x

Например, e^(1/4) * e^(1/5) * e^(1/6) получает верхнюю границу

4/3 * 5/4 * 6/3 = 6/3 = 2.

И в общем случае, разумеется, экспонента k-й суммы ограничена сверху 2, а снизу, как мы уже показали, 2-1/(k+1). Теперь уже все доказано, и ясно, что в пределе k к бесконечности экспоненты сумм стремятся к 2, а сами суммы к ln(2).

СВОЙСТВО ЭКСПОНЕНТЫ

Осталось разобраться с свойством экспоненты

Как его доказать, относительно элементарными методами?

Если мы позволяем себе использовать стандартные свойства производной, то это легко. Рассмотрим функцию f(x) = e^x — x — 1. Очевидно, когда x уходит в плюс-минус бесконечность, эта функция положительна. Значит, если она вообще когда-то опускается ниже нуля, то у нее должен быть локальный минимум ниже нуля. Но локальный минимум у нее есть только там, где производная обращается в ноль, а ее производная e^x-1 обращается в ноль только в x=0, где функция тоже равна 0. Значит, f(x) никогда не отрицательна и поэтому e^x >= x+1.

Но даже если мы не хотим использовать дифференциальный анализ, это все равно легко доказать совсем элементарными методами. Положим, мы определили e^x как сумму ряда

(для другого стандартного определения — как предел (1+x/n)^n — тоже можно доказать, но более муторно)

e^x = 1 + x + x^2(3+x)/3! + x^4(5+x)/5! + .

мы видим, что все 3+x, 5+x итд. положительны для x на отрезке [-1,0], так что все члены нового ряда положительны и опять-таки e^x >= 1+x.

ЕЩЕ ОДНО АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Наконец, упомяну еще одно красивое доказательство, которое мы получаем практически бесплатно за счет того, что доказали нижний и верхний пределы для экспоненты дроби 1/n:

Напомню, что оба неравенства следуют из применения e^x >= x+1, сначала к x=1/n, потом к x=-1/n.

Если теперь мы посмотрим на обычный (не «знакопеременный») гармонический ряд

1 + 1/2 + 1/3 + . + 1/n

и применим к нему тот же трюк: экспоненциируем частичную сумму, и ограничим ее снизу и сверху дробями, которые все почти сокращаются, и выходит

Выходит, что частичная сумма всегда больше ln(n), но никогда не выходит за рамки ln(n)+1, иными словами, следующая сумма лежит между 0 и 1:

Более того, легко видеть, что это выражение убывает, когда n увеличивается (при переходе от n к n+1 это сводится к все тому же свойству экспоненты — подробности опускаю). Значит,
эти суммы сходятся к какому-то пределу, который называется «постоянная Эйлера-Маскерони», обозначается 𝛾 (гамма) и примерно равен 0.5772.

(интересный факт: не доказано, что постоянная Эйлера-Маскерони трансцедентна или даже иррациональна!)

Так вот, зная, что сумма 1+1/2+. +1/n — ln(n) сходится к какому-то пределу 𝛾, мы можем доказать, что сумма знакопеременного ряда равна ln(2), ничего даже не зная о 𝛾. Вот как:

Обозначим S_n = 1+1/2+. +1/n, и A_n = 1-1/2+1/3-1/4+. +1/n, т.е. частичные суммы гармонического и знакопеременного гармонического рядов. Тогда

A_2n = 1-1/2+1/3-1/4 = 1+1/2+1/3+1/4. — 2(1/2+1/4+1/6+1/8), т.е. мы силой поменяли каждый четный член с минуса на плюс, а затем отняли дважды его, чтобы скомпенсировать.

A_2n = S_2n — S_n

Другой способ увидеть то же самое — использовать наше первоначальное представление A_2n как 1/(n+1) + . + 1/2n, очевидно, что это равно сумме первых 2n членов гармонического ряда минус сумме первых n членов его же.

Теперь добавим и отнимем логарифмы:

S_2n — S_n = S_2n — ln(2n) — (S_n — ln(n)) + ln(2n)-ln(n)

Выражения S_2n — ln(2n) и S_n — ln(n) оба стремятся к 𝛾, согласно вышесказанному. А выражение ln(2n)-ln(n) равно просто ln(2) по свойствам логарифмов. Значит, устремляя n в бесконечность, мы получаем предел A_2n, он же сумма знакопеременного ряда, как

Высшая математика

Геометрический смысл равномерной сходимости:

если окружить график функции y = f(x) «ε-полоской», определяемой соотношением f(x)−ε > y > f(x)+ε, то графики всех частичных сумм S_k(x), начиная с достаточно большого k, ∀x ∈ [a, b] целиком лежат в этой «ε-полоске», окружающей график предельной функции y = f(x).

» /> — называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд ,» /> u_n > 0, что для ∀x ∈ D f_n(x) ≤ u_n, n = 1, 2, …. Ряд » /> называется мажорантой ряда .» />

Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда): функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Степенные ряды:
» /> — степенной ряд по степеням
При >» /> – степенной ряд по степеням x.

Область сходимости степенного ряда:
Радиус сходимости, интервал сходимости R, x ∈ (-R, R):
>>/><|>>>=>><|>>>» /> или ><|>>>>» />
При |x| < R ряд сходится, при |x| > R – расходится;
в точках x = ±R – дополнительное исследование.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

• х – значение переменной;
• n – степень для первого аргумента;
• m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
• а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

• все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
• все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
• вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
• количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула: S1 = a (1 + x).

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

• S2 = a (1 + x)2;
• S3 = a (1 + x)2 и т.д.

Чтобы найти общую сумму: Sn = a (1 + x) + a (1 + x)2 + a (1 + x)3 + … + a (1 + x)n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2). Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

1. «Ставка» — процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
2. «Кпер» — число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
3. «Плт» — периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
4. «Пс» — «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда. В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов — БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу. В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

1. Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль.
2. Как мы считали – в строке формул.
3. На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» — инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график.

Сделаем задачу еще более «прикладной». В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

• Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6).
• Добавим полученные значения в график «Рост капитала».
• Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.
• Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): Sn = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

Ряд. Сумма ряда

Определение: Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.

Обратная теорема:

Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких его членов. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд, где c=const, также сходится и его сумма равна cS.

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Есть необходимый и достаточные признаки сходимости рядов.

Числовые ряды — определение, свойства.

Добрый день, уважаемые читатели. Мы продолжаем цикл статей про математический анализ. Сегодня мы рассмотрим числовые ряды — что это такое, каковы их свойства, а также заглянем в признаки сходимости ряда.

Определение числового ряда и понятия сходимости

Пусть задана числовая последовательность . Выражение называется числовым рядом и обозначается как , где — члены ряда.

Сумма первых членов ряда называется n-ой частичной суммой этого ряда (обозн. ), т. е.

Def. Ряд

является сходящимся, если последовательность его конечных сумм ( ) имеет конечный предел , т. е.

Число S, определенное выше, называется суммой ряда и обозначается как

Если же последовательность не имеет конечного предела, то ряд является расходящимся.

Условия сходимости ряда

Примечание. В дальнейшем выражение

означает лишь присваивание ряду имени , а не то, что является суммой ряда, если не оговорено обратное. Это сделано ради упрощения процесса поглощения материала.

Th. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то

В виду того, что ряд сходится, существует его сумма , которая является конечным пределом последовательности частичных сумм ряда. Тогда

Из этого следует, что

Стоит заметить, что это условие не является достаточным. Самым банальным примером является гармонический ряд :

который является расходящимся.

Свойства рядов

Свойство №1.Пусть заданы ряды

Если эти ряды сходятся, а их суммы соответственно равны и , то является сходящимся ряд

а его сумма равна

Пусть — n-ые частичные суммы рядов и . Тогда . Так как и при , то имеет конечный предел , а значит является сходящимся.

Свойство №2. Если сходится ряд

то сходится ряд

который называют m-ым остатком ряда . Верно и обратное утверждение: если при фиксированном ряд сходится, то и ряд также сходится.

Пусть , а — n-ая частичная сумма ряда и k-ая частичная сумма соответственно. Тогда

Если ряд сходится, то имеет конечный предел при , и поэтому из равенства выше следует, что последовательность , где фиксировано, имеет конечный предел при , т. е. ряд сходится.

Верно и обратное утверждение: если фиксировано и существует конечный

то существует конечный

Признаки сходимости

Теперь рассмотрим несколько признаков сходимости. Они будут приведены без доказательств (за исключением одного), но с практическим примером их использования.

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Если члены ряда

неотрицательны, т. е. то для сходимости этого ряда необходимо и достаточно (!) , чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху, т. е.

Так как предел частного двух членов ряда меньше единицы, то рассматриваемый ряд является сходящимся.

Заключение

Сегодня мы рассмотрели определение числового ряда, сходимости ряда и несколько признаков сходимости. Были упущены абсолютно сходящиеся и знакопеременные ряды, а также признаки сходимости для них. Думаю, это не останется без внимания в дальнейших статьях нашего ресурса.

Предыдущая статья из цикла «Математический анализ» — «Выпуклость функции — определение и теоремы.».

Подписывайтесь на группу ВКонтакте, Telegram и YouTube-канал. Там еще больше полезного и интересного для программистов.

Ряд. Сумма ряда.

Пусть задача бесконечная последовательность чисел:

Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Определение:

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n -й частичной суммой ряда :

Рассмотрим конечные суммы:

Если существует конечный предел

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится .

Если не существует, то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.

Обратная теорема:

Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких его членов.

На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Если ряд сходится и его сумма равна S , то ряд

, где c = const , также сходится и его сумма равна cS .

Если ряды и сходятся и их суммы, соответственно, равны и , то ряды

и также сходятся и их суммы, соответственно, равны и .

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Есть необходимый и достаточные признаки сходимости рядов.

Пользуясь определением, доказать сходимость ряда и найти его сумму.

.

Вычислим значение n -ой частичной суммы данного ряда. Для этого представим общий член в виде суммы элементарных дробей: .

Неизвестные определяются из тождества:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n , получаем систему:

Отсюда находим: . Значит:

.

Теперь частичную сумму представим в виде:

Так как существует предел: , то по определению ряд сходится и его сумма равна .

Пользуясь определением, доказать сходимость ряда и найти его сумму.

Решение:

Вычислим значение n -ой частичной суммы

данного ряда. Для этого представим общий член ряда в виде суммы элементарных дробей.

Неизвестные при и определяем из тождества:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n , получаем систему:

Следовательно,

Теперь частичную сумму ряда представим в виде:

Так как существует предел

то по определению ряд сходится и его сумма равна

Ответ: ряд сходится и его сумма равна

ВВЕДЕНИЕ

Под численными методами в математике понимаются методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами.

Элементарными операциями являются обычно приближённо выполняемые арифметические действия, а также вспомогательные операции как выборки из таблиц, записи промежуточных результатов и т.п.

Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (двоичной, десятичной и т.п.).

Таким образом, в численных методах числовую прямую заменяют дискретной системой чисел (сеткой), функцию непрерывного аргумента заменяют таблицей её значений в сетке. Операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке. Численные методы сводят решение математических задач к вычислениям, которые могут быть выполнены как вручную, так и с помощью вычислительных машин.

Актуальность темы данной работы заключается в том, что разработка новых численных методов и применение их в ЭВМ привели к возникновению вычислительной математики.

Целью данной курсовой работы является подробное рассмотрение методики расчета конечных и бесконечных численных рядов при помощи различных численных методов.

В данной курсовой работе решены следующие задачи:

— рассмотрение определений «ряд» и «сумма ряда»;

— изучение методики нахождения суммы конечных рядов;

— рассмотрение способов приближенного нахождения суммы бесконечных рядов.

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие и свойства числовых рядов

Определение числового ряда. Сходимость

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Рассмотрим определение того, что понимается под такими суммами [2].

Пусть задана бесконечная числовая последовательность:

Итак, числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида:

Числа называются членами ряда, — общим или n-м членом ряда. Чтобы задать ряд (1.2) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру

Пусть . Ряд 1.3 называется гармоническим рядом.

Пусть , Тогда ряд 1.4 называется обобщенным гармоническим рядом [1, 3].

В частном случае при получается гармонический ряд.

Пусть =. Тогда ряд 1.5 называется рядом геометрической прогрессии.

Из членов ряда (1.5) образуем числовую последовательность частичных сумм где — сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е.

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Ряд (1.2) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.6) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число называется суммой ряда (1.2) и пишется так:

Ряд (1.2) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы [3].

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.2) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Сумма числового ряда

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится [8, c.116].

Элементы ряда a_n представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные). Рассмотрим определение суммы ряда.

Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .

Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Исчисление сумм связано с исчислением разностей, как интегральное исчисление с дифференциальным. Здесь, как и в интегральном исчислении, нахождение обратного оператора, в сущности, основано на догадке.

Самым удобным обозначением для исчисления сумм является определение как суммы [3, 8]:

Это обозначение применяется Булем, Жорданом и многими другими, однако оно не является употребительным в других областях математики, и использование его могло бы привести к путанице.

По-видимому, лучше все же иметь дело с затруднениями, которые возникают от применения неудобного, но общепринятого обозначения:

Методы суммирования будут целиком основываться на использовании прямого разностного оператора:

а не обратного разностного оператора у и не центрального разностного оператора. Просуммировав последнее равенство от х=а до x = b-1, получим:

Это соответствует равенству 1.12 в интегральном исчислении.

Основная теорема исчисления сумм состоит в том, что если две функции, определенные на дискретном множестве точек, имеют одни и те же первые разности, то они различаются не более чем постоянным слагаемым. Это наводит на мысль о неопределенной сумме, соответствующей неопределенному интегралу, и аддитивной константе в таблице неопределенных сумм [7, c.58].

В исчислении бесконечно малых таблица неопределенных иитегралов основывается на соответствующей таблице производных; таким же образом таблица неопределенных сумм основывается на таблице разностей. Из выражения 1.13 применяя (1.12), получим:

Для примера положим n = 0, тогда получим:

Используя общую формулу (1.14) и очевидную линейность оператора 2′ мы можем находить суммы многочленов путем простого превращения степеней х в факториалы или при помощи чисел Стирлинга второго рода, или повторяя деление многочленов.

23.6. Некоторые числовые ряды и их суммы

Т. е. рад, члены которого— некоторые функции от

При каждом фиксированном значенииФункциональный рад (24.1) ста

Новится числовым радом

(24.2)

Если рад (24.2) сходится, то значение аргументаНазывается точкой схо

Димости ряда (24.1). Множество всех точек сходимости х функционального рада (24.1) называется его областью сходимости, а функция

— суммой данного рада. Функция

(24.3)

Называется остатком рада (24.1).

Если ряд (24.2) расходится, то значениеНазывается точкой расхо

Димости ряда (24.1).

В простейших случаях для определения области сходимости ряда (24.1) можно применять к нему известные признаки сходимости, считая х фиксированным. В частности, при применении признака Д’Аламбера или Коши случай, когда исследуется особо, с помощью других признаков сходимости.

Функциональныйрад (24.1) называется абсолютно сходящимся на множестве , если при всехСходится рад из модулей его членов:

Пример 24.1. Найти область сходимости ряда

Данный ряд является геометрическим рядом со знаменателемГео

Метрический ряд сходится тогда и только тогда, когдаСледовательно, данный рад

Сходится лишь в случаеПоследнему неравенству равносильны нера

Венства. ЕслиТо -Т. е.

Второе из этих неравенств выполняется для всех х, первое верно только для *>0. Если

Первое из полученных равенств противоречиво, второе выполняется при. Но при

Таким образом, ряд сходится приТ. е. областью его сходимости является открытый промежуток(ПриКак и следовало ожидать, получаем

Расходящийся ряд).

Пример 24.2. Найти область сходимости ряда

Общий член данного ряда определяется формулой. Так

КакПриИ рядСходится при

То и данный ряд сходится дляПоскольку

ПриИ рядСходится приТо данный ряд сходится и для

ЕслиТо; ряд расходится. Итак, данный ряд сходится

При всех л, кроме

Пример 24.3. При каких* сходится ряд’

Применим к данному ряду признак Коши, для чего сначала найдем предел Так как,То

Найдем значенияПри которых этот предел меньше 1, для чего решим неравенствоПоследнее неравенство выполняется дляПриДанный

Ряд принимает вид. Этот ряд расходится, так как для него не выпол

Горин Павел/ автор статьи

Павел Горин — психолог и автор популярных статей о внутреннем мире человека. Он работает с темами самооценки, отношений и личного роста. Его экспертность основана на практическом консультировании и современных психологических подходах.

Добавить комментарий Отменить ответ

Имя *

Email *

Комментарий

Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.