Что такое задача наоборот

Всё наоборот

У мальчика Вани и его папы была такая игра: «всё наоборот». Вначале Ваня придумывал что-нибудь, чего не бывает. Например, он говорил:

— А вот если бы у человека было не два уха, а только одно, посередине лба?

— Ну, тогда человек, конечно, слышал бы звуки, но не мог бы разобраться, откуда они идут.

А Ваня пытался догадаться, почему всё было бы так, а не иначе. (Потому что до каждого уха звук доходит с небольшой задержкой. Чем меньше задержка, тем ближе к этому уху находится источник звука. Обрабатывая информацию, пришедшую с обоих ушей, мозг определяет, с какой стороны прозвучал звук.)

Или Ваня говорил:

— А вот если бы у человека было на руке не пять пальцев, а шесть?

— Да ничего не было бы. Разве что считали бы мы в двенадцатеричной системе.

А сегодня, предвкушая Новый год, приход Деда Мороза и подарки, Ваня спросил вот что:

— А что было бы, если бы Дед Мороз был не Дед Мороз, а. Дед Жара? Что было бы, если бы он приходил к нам с юга, а не с севера?

— Ну. — задумчиво протянул папа. — Подарки он бы наверное приносил самые обычные — ну, то есть, самые волшебные. Но сам стал бы чернокожим. И скорее всего, олени его были бы помельче. А уши, хвосты и ноги у них были бы подлиннее. И расцветка была бы у них поярче.

— Ой! — воскликнул Ваня. — Почему?

И правда, почему?

Подсказка

Особи одного и того же вида, живущие в разных климатических условиях, приобретают некие внутривидовые различия.

Решение

— Пааап, — протянул Ваня, истощив все свои догадки. — Ну всё-таки, а почему?

— Хм, — папа улыбнулся в бороду. — Ну вот смотри, — папа снял с елки две игрушки — шарик и звездочку. — Обладая какой формой легче сохранить тепло — шарообразной или такой вот. в-разные-стороны-торчащей?

— Ну. шарообразной, наверное.

— Ну я не знаю, почему, знаю только, что птицы, чтобы не замерзнуть, подбирают крылья, ноги, шеи, получается такой. шарик.

— Отлично! Ты совершенно прав. На самом деле шарик сохраняет тепло потому, что у него объем большой, а площадь поверхности маленькая. Производишь ты тепло всем объемом тела, а испаряешь — только с поверхности, и если соотношение поверхности и объема маленькое, то и тепла ты отдашь немного. Понятно?

— Кажется, понятно! Тогда знаешь что? Тогда я, кажется, понимаю, почему у оленей на севере будут короче уши, хвосты и ноги, чем у оленей на юге. Потому что, когда всё это короткое и далеко не выступает, поверхность становится меньше и легче сохранять тепло!

— Молодец! Это правило называется правилом Аллена и звучит оно так: представители вида, которые живут в более холодных условиях, имеют меньшие по размеру выступающие части тела. Верно это правило только для теплокровных животных, потому что им важно сохранять тепло — холоднокровные просто остынут и все. Это правило — пример явления, которое называется клинальной изменчивостью. Клинальная изменчивость — это такая ситуация, когда один и тот же признак — ну, там, длина ушей или размер тела — постепенно меняется от одной части местообитания вида к другой: например, с севера на юг или с подножия горы к ее вершине. Понятно?

— Тогда скажи, почему северные звери будут крупнее южных?

— Ммм. Да потому же! Потому что у крупного зверя отношение поверхности к объему будет меньше. И значит, чем ты больше, тем легче тебе сберечь тепло?

— Ну конечно! Это правило называется правилом Бергмана и связано с той же клинальной изменчивостью. Кстати! Наш Дед Мороз, ну, вернее, Дед Жара, отнюдь не наверняка будет пигмеем, то есть человеком маленького роста. Хотя низкорослые племена и характерны для экваториальных мест по всему миру (и это — один из примеров справедливости правила Бергмана), но в жарких местах встречаются и очень высокорослые племена. Это — одно из доказательств того, что правило Бергмана (а также и правило Аллена) не абсолютно, это только одна из закономерностей, определяющих фенотип (то есть внешние признаки) живого существа.

—- Пап! Я, кажется, понял, почему маленькие звери — ну, там, мыши или такие, знаешь, крохотные собачки — всё время дрожат! Им холодно оттого, что они маленькие!

— Ура, я догадался! Пап. А вот я не понимаю все равно — почему они бы были более яркой раскраски?

— А, вот это хороший вопрос. Строго говоря, никто этого до конца не понимает. Но просто еще в середине позапрошлого века один зоолог, Константин Глогер, подметил, что чем жарче и влажнее среда обитания теплокровного животного, тем ярче оно окрашено. Это правило называется правилом Глогера. Почему так — понятно не до конца, ну, видимо, в ярких южных краях поневоле приходится быть ярким — просто чтобы не бросаться в глаза. А может, причина в том, что при разной температуре синтез пигмента идет чуть-чуть по-разному. Кстати, правило это верно и для человека — вот и наш Дед Мороз, ну, в смысле, Дед Жара, был бы темнокожим, а не светлокожим, как северный дед. Причем для человеческой чернокожести есть вполне сносное объяснение: чем темнее кожа, тем лучше она защищает от ультрафиолетового излучения (которого много в жарких местах). Но, разумеется, правило Глогера — как и правила Аллена и Бергмана — имеет множество исключений.

Послесловие

Связь между размером тела и его способностью к сохранению тепла — вообще интересная и широко разветвленная тема. Нисколько не претендуя на всеобъемлющее ее освещение, соберу в этом послесловии «винегрет» из разнообразных ее аспектов.

Вначале несколько формул.

В 1932 году швейцарский ученый Макс Клайбер вывел эмпирический «закон трех четвертей» (он же «закон Клайбера»): базовый метаболический уровень животного В (измеряемый по выделяемому этим животным теплу) пропорционален его массе М в степени три четверти. То есть уровень метаболизма с увеличением массы растет всё медленнее и медленнее, и метаболизм кошки всего примерно в 30 раз выше метаболизма мыши, хотя массы их различаются в сто раз.

За прошедшее с 1932 года время этот закон модифицировался то так, то иначе, обрастал подробностями и дополнительными слагаемыми, пока наконец несколько лет назад не превратился вот в такое устрашающее уравнение (см. Tom Kolokotrones et al., 2010. Curvature in metabolic scaling):

где B — базовый уровень метаболизма в ваттах, M — масса в граммах, T — температура тела живого существа в кельвинах, а остальное — всевозможные коэффициенты, которые подбираются по своим сложным правилам. Из формулы можно сделать очевидный вывод: что увеличивать свою массу до бесконечности — дело невыгодное, поскольку начиная с какого-то момента (если быть точнее — с того момента, как тангенс угла наклона графика данного уравнения превысит единицу) увеличивать массу тела на x% — значит, увеличивать уровень своего метаболизма более чем на x%, что невыгодно энергетически. С другой стороны, очень маленьким тоже быть несладко, и по той же причине: начиная с какого-то момента уменьшение массы тоже заставляет слишком сильно повышать базовый уровень метаболизма. Однако если формула корректно предсказывает массу самого большого животного (синего кита; M = 100 тонн), но с маленькими животными дает осечку, предполагая минимальную возможную массу примерно равную массе атома (M = 10 –26 грамма).

Теперь посмотрим на проблему с другой стороны. Связь между уровнем метаболизма и массой тела имеет самое прямое отношение к устройству кровеносной системы: показано, что общий объем кровеносной системы пропорционален массе тела, а количество капилляров — уровню его метаболизма. Следовательно, с помощью определенных формул можно описать как иерархию кровеносной системы (ее ветвление от крупных сосудов к мелким), так и принципы устройства других иерархических систем, причем не только биологических, а, например, инженерных или систем передачи информации (см. Jayanth R. Banavar et al, 2010. A general basis for quarter-power scaling in animals и Yuriy Mileyko et al, 2012. Hierarchical Ordering of Reticular Networks).

Есть и более насущный аспект данной темы — ожирение. Изучение связи между метаболизмом и массой тела помогает разобраться в том, что такое нормальный вес и каковы могут быть причины его нарушения (см. Karl J. Kaiyala and Michael W. Schwartz, 2011. Toward a More Complete (and Less Controversial) Understanding of Energy Expenditure and Its Role in Obesity Pathogenesis).

И наконец, еще один неожиданный взгляд на проблему — экология и глобальное потепление. Если общемировая температура действительно будет подниматься, то это не только прямым образом переменит экологический баланс существующих сообществ, но и окажет на все живые существа многочисленные косвенные влияния. Например, произойдет «перекос» в сторону более мелких особей, что связано с вышеупомянутым правилом Бергмана. Очевидно, это изменит экологическое равновесие (см. Ulrich Brose et al., 2012. Climate change in size-structured ecosystems).

Кинематика: прямая и обратная задачи

В робототехнике, есть две основные задачи кинематики:
прямая и обратная.

Рассмотрим эти задачи на стандартном примере манипулятора.

Прямая задача — это вычисление положения (X, Y, Z) рабочего органа манипулятора по его кинематической схеме и заданной ориентации (A1, A2… An) его звеньев (n — число степеней свободы манипулятора, A — углы поворота).

Обратная задача — это вычисление углов (A1, A2… An) по заданному положению (X, Y, Z) рабочего органа и опять же известной схеме его кинематики.

Т.о., решение прямой задачи говорит — где будет находиться рабочий орган манипулятора, при заданных углах его суставов, а обратная задача, наоборот, говорит: как нужно «вывернуться» манипулятору, чтобы его рабочий орган оказался в заданном положении.

Очевидно, что более распространённой и важной является именно обратная задача кинематики.
Но нужно иметь в виду, что эта задача редко может быть решена однозначно.
Дело в том, что хотя для углов (A1, A2, …, An) всегда существует ЕДИНСТВЕННОЕ положение (X, Y, Z) рабочего органа, но не факт, что для положения (X, Y, Z) отыщется такая же единственная комбинация углов (A1, A2, …, An).
Скорее всего, достичь заданного положения (X, Y, Z) возможно и при другой комбинации углов (A1′, A2′, …, An’).
При решении обратной задачи аналитически, эта неоднозначность проявляется в явном виде (например, через квадратные корни).

Рассмотрим пример прямой задачи кинематики.

у нас есть манипулятор, способный работать только в одной плоскости и имеющий два сустава.
Первый сустав L1 закреплён на основании и повёрнут на угол Q1,
второй сустав L2, крепится к концу первого сустава и повёрнут относительно него на угол Q2.
Рабочий орган манипулятора находится на конце второго сустава.
Прямая задача кинематики состоит в нахождении координат рабочего органа (x, y) по заданным L1, L2, Q1, Q2.
L1 и L2 — это, соответственно, длины плеча и локтя манипулятора; определены конструкцией манипулятора.

Решение:
здесь, мы имеем две системы отсчёта — первая, связанная с точкой крепления плеча L1 — O, а вторая — с началом координат в точке крепления локтя — A.
Найдём смещение второй системы относительно первой (координаты точки A в системе отсчёта O):

Координаты (x, y) в системе отсчёта локтя:

По рисунку видно, что в системе O, локоть L2 повёрнут относительно плеча на Q1+Q2:

Теперь, рассмотрим пример обратной задачи кинематики.

тот же рисунок, но теперь нужно найти такие углы Q1 и Q2, которые позволят манипулятору с плечом L1 и локтем L2 поместить рабочий орган в заданную точку (x, y)

Проведём прямую B, соединяющую начало координат O с заданной точкой (x, y).

q1 — угол между осью OX и прямой B
q2 — угол между прямой B и плечом L1

, а q2 находим при помощи теоремы косинусов, которая говорит:
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

в нашем случае, по теореме косинусов:

по той же теореме косинусов найдём угол Q2:
как видно по рисунку, угол Q2 равен 180 — угол OAx

Очевидно, что руку можно расположить и по-другому:

формулы для Q1 и Q2 не изменятся, но изменятся знаки углов:

а Q2 нужно брать с противоположным знаком.

Откуда берётся изменение знака? Из вычисления квадратного корня, которое всегда даёт ответ со знаком плюс-минус.

«А что, если наоборот?» Мой метод преодоления хронически нерешаемых проблем

При всем многообразии инструментов на поле создания себя заново есть один, который для меня особо дорог. Инструмент этот был мною выдуман, собран вручную и уже неоднократно испробован. За неимением эффективных решений для тех вопросов, с которыми приходится сталкиваться, многие двери и выходы для своих жизненных тупиков я мастерю самостоятельно. Так что, если угодно, инструмент этот самопальный. Но мне больше нравится слово handmade.

Названия у этого инструмента два. Черновой, для себя: «Разворот на 180 градусов» и официальный, публичный: «А что, если наоборот?». Но каждый раз, когда я рассказываю о нем на аудиторию, чаще приживается именно первый вариант. Сегодня я хочу подробно описать, что это за клинок и как им можно эффективно перекроить полотно своей жизни.

Имеются противопоказания

Как любой инструмент, «Разворот на 180 градусов» требует бдительного с ним обращения и помимо пользы может причинить вред. Как говорится: «Аккуратно, имеются противопоказания». Ограничения здесь будут те же, что и при обращении с любым острым предметом, например, с ножом: взрослый возраст, отсутствие психических расстройств, аккуратность и внимательность, чтобы вместо хлеба случайно не отрезать себе палец. Также необходимы добрые намерения, чтобы не нанести ущерб другим людям. В остальном – отличный, хорошо заточенный инструмент для кардинальных подвижек в своей жизни.

Описание

В основе техники лежит идея сознательного разворота на 180 градусов по отношению к какому-то своему убеждению, жизненной ситуации или ряду привычных действий, как правило, в тех сферах, где проблема не решается долгое время. Здесь на помощь и приходит вопрос: «А что, если наоборот?», который точечно применяется к процессам, требующим перемен и трансформации. Как именно это работает и конкретные примеры – ниже.

Назначение

Прямое назначение этого инструмента – преодоление хронически нерешаемых проблем, «затыков», жизненных узлов. Ситуаций, с которыми не получается справиться на протяжении нескольких лет. Когда ты уже и одно пробовал, и другое, и то применил, и это, а воз и ныне там. Все перепробовал, но ничего не помогает.

Пока человек не намотал хотя бы парочку холостых кругов в каком-то вопросе, решиться на разворот не то что сложно, правильнее сказать – не представляется возможным. Чаще всего подобный вариант даже не допускается нашим сознанием, ведь разворачиваться придется по отношению к чему-то привычному, а порой и очень для себя дорогому. Для экспериментов с этим инструментом необходим контекст сложной проблемы, тупиковая ситуация, многолетние пробуксовки в какой-то сфере или безбашенность. Но последнее – не лучший союзник для острых клинков. Просто знайте: если вы зашли в тупик и никак не можете разрешить свою ситуацию, есть одна техника, достойная рассмотрения.

Принцип действия

Помните известную поговорку: «Если ты такой умный, то почему такой бедный?». В основе работы инструмента «Разворот на 180 градусов» лежит в чем-то схожий, пусть и такой же спорный, вопрос, – если у тебя есть хронически нерешаемая проблема в какой-то из жизненных сфер, то с чего ты взял, что думаешь и делаешь все правильно? Почему не допускаешь, что у тебя имеются не просто условные «дыры», которые нужно заполнить очередным блоком информации по теме, а серьезные заблуждения на этот счет? К тому же оглянись: ты работаешь с этими «дырами» уже несколько лет, забиваешь голову бесконечными советами из разных источников, а проблема все там же.

Если у тебя есть в чем-то сложность, особенно застарелая и укоренившаяся, которой как минимум год и больше, то, скорее всего (не факт, но скорее всего), ты не просто чего-то не знаешь в той проблеме, которую пытаешься преодолеть, – ты где-то серьезно ошибаешься. Кардинально ошибаешься. В самом основании. Плывешь в противоположную сторону. И пока не совершишь разворот на 180 градусов, будешь только отдаляться от того, чего на самом деле хочешь.

Если есть проблема – значит, есть заблуждение. Если есть хроническая проблема (от трех лет) – значит, заблуждение это глубокое, затрагивающее корневую систему твоих взглядов на жизнь.

Разворот на 180 градусов

Итак, у вас есть проблема или задача, с которой надо справиться. Вы пытаетесь ее решить уже длительное время, а серьезных подвижек все нет. Что делать?

Попробовать развернуть направление своего движения в этом вопросе. Да не просто развернуть, а поменять на ровно противоположное. Слабо?

А чего, собственно, за свои мысли и действия в данной ситуации так держаться, раз они все равно не работают и не решают вашу задачу уже несколько лет? К тому же если у вас пробуксовывает какая-то проблема в течение, допустим, трех лет, то вероятность того, что, не сменив направление, вы и через следующие три года найдете себя там же, – крайне высокая. И я бы на вашем месте не рисковала временем своей жизни. Хотя правильнее будет сказать так – на своем месте я и не рискую, а провожу развороты везде, где мне это видится возможным.

Личные примеры разворотов

Сегодня у меня нет запретов на развороты. Я могу подвергнуть сомнению любую практику, которой занимаюсь. Любое знание, которому верю. Любую мысль, с которой срослась, потому что я – это не мои мысли, не мои убеждения, не мои действия. До тех пор, пока разворот лежит в рамках этики и не вредит другим людям, – я могу все поменять. И само это понимание дает мне очень много идей и силы.

Да, разворот может завести не туда. Но я не боюсь разворотов по одной простой причине – я совершаю их по отношению к тем процессам моей жизни, которые плохо или вообще не работают. Если бы я не имела заблуждений в некой сфере – хронических проблем в ней бы не было. Для меня это аксиома.

О некоторых личных разворотах я уже неоднократно рассказывала на этих страницах.

Из легкого – в сложное

Тот самый переезд с теплого, радостного и уже родного мне после нескольких лет жизни Бали с налаженным бытом, удаленной работой и добрым климатом – в жесткую среду незнакомой Москвы, где у меня никого и ничего не было. Этот разворот шикарно выдернул меня из тумана иллюзий и позволил перевести свои многочисленные «хочу», в которых я плотно застряла к тому моменту, в осязаемые «могу» и «делаю».

Из зуда на тему отношений – в осознанный целибат и концентрацию на работе

Отказалась от мыслей и поиска отношений, которые преследовали меня всю взрослую жизнь, в пользу осознанного, здорового одиночества и развития личного творчества и бизнеса. Это не только дало мне сил на личное самовыражение, но и привело к встрече с мужем. Правда, для этого потребовалось ни много ни мало 3 года.

Из попыток вылечить свою бессонницу – в отказ от действий в этом направлении

После полутора лет изматывающей бессонницы и десятков опробованных методов – от таблеток и специалистов до хилеров и волшебных книг – я в одночасье прекратила поиск лекарства или метода и приняла решение жить со своей проблемой дальше, больше ничего на этот счет не предпринимая. С того дня сон начал восстанавливаться и через некоторое время полностью вернулся в норму.

Из «мысли материальны» – в «работа-работа-работа»

Именно здесь был мой самый первый разворот. Он показал мне красоту и глубину этого инструмента, а также силу и мощь моих заблуждений.

Тогда я отказалась от того, что психотерапевты называют «магическим мышлением», в пользу большего рационализма и приземленности, чтобы наконец-то прийти туда, куда я хочу, а не бесконечно мечтать, визуализировать, просить у мира и вырезать на доску образы из журналов. Достигнутый результат меня поразил и вдохновил экспериментировать с этим инструментом дальше, в тех вопросах, которые продолжали пробуксовывать.

Сегодня я нахожусь в процессе нескольких разворотов в сфере «тело», но они не завершены, и мне рано о них рассказывать. В любом случае я верю, что дорожка к развороту должна быть протоптана самостоятельно, а не просто скалькирована с другого примера. Исследуйте свои проблемы – выуживайте мысли и действия вокруг нее и рассматривайте возможность разворота. Спрашивайте себя: «А что, если наоборот?».

Все не так просто

На этом сайте есть одна статья, наделавшая в свое время много шума. Тема: «Женский вопрос: как преодолеть хроническое одиночество?».

Писала девушка с проблемой в отношениях. Вся ее тирада сводилась буквально к следующему: «Я ничего не люблю в жизни, кроме состояния, когда Любимый любит меня», тогда как мой витиеватый ответ укладывался в идею: «Возьмите осознанную паузу, отвлекитесь от отношений в принципе». Тот самый разворот на 180 градусов по отношению к ее проблеме.

Девушке с обратными вводными, которая по тем или иным причинам вцепилась в свое одиночество мертвой хваткой, я бы рекомендовала попробовать ровно противоположное – срочно брать себя в руки и «выводить в свет». Общаться с мужчинами, знакомиться, для начала на приятельском уровне. Научиться видеть на той стороне человека со своими заморочками и своими стремлениями вместо поиска идеального аватара. Но передо мной была история именно «чрезмерно перетянутой струны» в вопросах отношений.

С самим кейсом вроде бы все понятно, любопытно было другое – реакция на эту статью. Я стала наблюдать один неожиданный паттерн. Некоторые девушки и женщины, которые как раз очень держатся за свое одиночество, которым «не очень-то и надо», стали фанатично поддерживать мою позицию. И, наоборот, девушки в так называемом активном поиске, прыгающие из одних отношений в другие, не мыслящие себя без мужчины, стали возмущаться, называть все это неправильным, плохим. По сути многие читатели лишь аплодировали своей позиции или протестовали, если моя идея шла вразрез с их образом жизни, вместо того чтобы рассмотреть механику разворота в ситуации хронической жизненной пробуксовки.

Получалось так, что «чрезмерно расслабленные струны» в отношениях, женщины, которые «я, конечно, хочу отношений, но… но… но», увидели в этом ответе возможность еще больше «расслабляться», хотя там уже и так некуда, если честно. Они как будто получили разрешение на полное освобождение от интереса к противоположному полу, которое ничем кроме остывания-то не грозит.

А «перетянутым струнам», тем, которые голодным взглядом провожают каждую мужскую спину, взвешивая всех на весах «подходит – не подходит», мой совет ой как не понравился. Ужасный совет, чудовищный, предлагает побыть немного одной, найти свои интересы, расслабиться, никого не искать, хотя бы какое-то время. А по сути – избавиться от своего маниакального состояния, которое всех мужчин и распугивает.

Получается, что…

Можно годами ходить от автора к автору, от специалиста к специалисту, слушать в общем-то рабочие советы – и лишь усугублять свою проблему. Причем в самых разных ситуациях. То же самое происходит в сфере питания и спорта, где сегодня легко подводят доказательную базу под противоположные концепции. В бизнесе, в творчестве, даже в духовных поисках – везде один и тот же рельеф. Вы можете зайти далеко не туда в вопросе, который пытаетесь решить, но продолжать находить миллион подтверждений «правильности» своего пути.

Но это совершенно не значит, что идеи, которые вы используете и которые не дают вам результатов, – нерабочие. В первую очередь это говорит о том, что они не подходят под ваши вводные. Как лекарство, принятое не по назначению, может не помочь, а даже усугубить ситуацию, в то время как другим людям с другим диагнозом то же самое лекарство спасает жизнь.

Что делать?

Для себя я нашла в чем-то грубоватый и топорный, но достаточно эффективный метод – если что-то не работает, особенно длительное время, рассмотреть в этом вопросе разворот на 180 градусов. Сменить направление движения на противоположное. А что, если я буду делать ровно наоборот?

Фундаментом этой техники служит все та же теория «перетянутых» и «слишком расслабленных» струн ума и тела, которую я недавно рассматривала. С виду все просто: перетянуто – расслабь, слишком расслаблено – докрути. Но просто все только с музыкальным инструментом. Скрипка всегда будет плохо звучать при неправильном натяжении струн, в то время как человек ввиду особенностей психики ко всему привыкает и своей фальшивой ноты может просто не замечать.

Мы приспосабливаемся жить в хроническом «перегреве» или, наоборот, с вечно болтающейся «внутренней струной», принимая свое состояние за уровень нормы. Отсюда и парадокс, когда «чрезмерно расслабленные струны» нервно защищают комфорт, боясь даже небольшого напряжения, а «перетянутые» продолжают искать, что бы еще в своей жизни «затянуть» (пока окончательно не порвется). В век информационного изобилия и те, и другие находят поддержку в своих намерениях: «расслабься, отпусти, наслаждайся» или «давай, ты можешь, поставь цель, реализуйся».

Голодные до отношений женщины изучают всё новые тренинги по семье, сексу, быту и магическим штучкам, лишь бы найти, удержать, завладеть, не замечая своей одержимости, а раненые – те, которые боятся отношений по разным причинам, – очень ценят идеи про самостоятельность, независимость и требования к партнеру, которые служат прекрасной отговоркой их страхам и неспособности наладить контакт с другим человеком.

Итого

Вместо того чтобы годами ходить по кругу «я все знаю и делаю правильно, правда, решить свою проблему не могу», встречаясь с хронически пробуксовывающим вопросом, я раскладываю его на составляющие действия и убеждения, рассматриваю их по отдельности и постоянно спрашиваю себя: «А что, если ровно наоборот?». Что, если делать по-другому? В обратную сторону? В корне не так? Развернуться на 180 градусов? На время или навсегда…

P.S. Друзья! Ознакомиться с моей личной коллекцией источников по теме физики и метафизики осознанных перемен (чем вдохновляюсь сама и что рекомендую вам) можно по этой ссылке >> По состоянию на 2022 год получилось 62 книги, 74 статьи, 15 сайтов, 27 фильмов, 29 видео + кое-что личное.

Автоматическое порождение программ, обратная задача и некоторые связанные с ними решения

Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье речь пойдет об одном подходе к автоматическому порождению программ по блочной модели задачи, к решению обратной задачи (восстановления модели исходной проблемы по уже порожденной программе), а также к решению проблемы верификации порожденных программ. Сама по себе тема очень серьезная, но статью я, по возможности, постараюсь сделать популярной (без тяжеловесного обзора аналогов, строго оформленной теоретической части и прочих сложностей), с примерами и описанием различных применений.

1. Автоматическое порождение программ

Для генерации любой программы требуется, прежде всего, знать, какую задачу мы решаем. Имея четкую формализованную постановку задачи, уже можно строить некие правила разворачивания этой постановки в план решения задачи и правила преобразования плана решения в конечный код на обобщенном или конкретном алгоритмическом языке. При этом обычно используется подход к построению конечной программы из готовых, созданных заранее, блоков – типовых алгоритмов, которые связываются неким вызывающим/обслуживающим кодом.

Пусть исходная постановка решаемой задачи представляется в виде блочной схемы (блоки могут быть элементарными или, в свою очередь являться подсхемами), например, сети объектов, каждый из которых относится к некоторому классу из иерархии классов-понятий предметной области. Такая постановка будет вполне наглядна и понятна как человеку, так и системе порождения программы. Такую постановку система должна преобразовать в план решения задачи по некоторым логическим правилам. Значит, правила такого преобразования было бы уместно писать на каком-нибудь языке логического программирования, я выбрал GNU Prolog. На практике, замечу, часто можно «пропустить» эту первую фазу (высокоуровневое описание задачи), сразу построив описание плана решения, также в виде блочной сетевой схемы.

Полученный план решения следует преобразовать в программу, как я уже писал, представляющую собой код, связывающий типовые алгоритмы решения «кирпичиков» задачи, реализованные, например, в виде библиотеки функций. Здесь возможны самые различные пути, опишу в нескольких словах использованный мной подход. Процесс порождения представляется в виде последовательности событий (например, генерация деклараций, генерация инициализационной части, этапы основной части, деинициализация), на каждое из которых сеть объектов должна покаскадно (имеются в виду каскады сети, такая схема исключает зацикливание модели при обработке события) реагировать генерацией соответствующих фрагментов кода. При этом объекты опираются на идентификатор события, значения своих параметров (задаются пользователем при построении блочной постановки задачи), а также на данные, которые они могут передавать друг другу по связям между ними. Поэтому каждый объект из плана решения имеет методы реакции на такие события, генерирующие код (а в общем случае – произвольный текст). Для решения такой задачи я выбрал язык PHP – он как раз прекрасно может генерировать произвольные текстовые фрагменты.

Настройка системы на предметную область выполняется путем разработки соответствующей иерархии порождающих классов.

Пример порождающего скрипта, генерирующего код для класса «Обработка вектора (минимум, максимум, среднее арифметическое)»:

Это сравнительно несложная схема, которая работает. Система, реализующая такую схему порождения (PGEN++) позволяет, например, генерировать решающие программы в следующих областях:

а) моделирование процессов распространения загрязнений;
б) решение некоторых задач кинематики простых манипуляторов роботов;
в) простые учебные программы для работы с векторными данными (поиск минимума, максимума, среднего арифметического);
г) разработка тестов для системы психологического тестирования ПРОФТЕСТ.

Вот пример исходной постановки задачи (простая программа обработки векторных данных) в виде блочной схемы:

А это результат порождения программы:

2. Обратная задача: реконструкция постановки задачи (исходной модели) по порожденной программе. Верификация порожденных программ

Прежде всего, для чего необходимо решение такой задачи. Ее прямое, и, думаю, самое очевидное применение – верификация автоматически порожденных программ. Если мы имели модель А, построили по ней программу П, из которой реконструировали модель Б, то программа, скорее всего, корректна при совпадении моделей А и Б.

Предлагается следующее простое решение. В автоматическом порождении программы фигурировали порождающие объекты, относящиеся к некоторой иерархии классов предметной области. Они имели только порождающие методы. Добавим к ним распознающие методы. Тогда исходная программа (или, в общем случае, любой текст) последовательно сканируется распознающими методами каждого класса, который, при успешном распознавании, генерирует объект/объекты этого класса. Получаем упорядоченный (в порядке «чтения» текста) набор параметризованных элементов модели. Остается определить связи между ними на основании порядка следования объектов и соотношения между их параметрами. Для этого можно применить специальные решающие правила.

Распознающий метод, в моей реализации, состоит из распознающей части (это группа модифицированных регулярных выражений) и решающей части (написанной на GNU Prolog). Регулярные выражения модифицированы таким образом, чтобы осуществлять некоторую предобработку (проверка по словарю, нечеткая проверка по похожести по Левенштейну, проверки на сбалансированность выражений по скобкам) еще на стадии разбора, для этого в них добавлена возможность включать разнообразные цепочки (проверяющие, добавляющие, удаляющие, обучающие нейронную сеть) «быстрых» предикатов.

Эта схема также работает. В качестве прямого применения она использовалась для реконструкции простых учебных программ для работы с векторными данными (поиск минимума, максимума, среднего арифметического), в таком случае она вполне успешно продемонстрировала возможную верификацию порожденных программ путем сравнения исходной и реконструированной моделей. Но есть и иные применения, о них дальше.

3. Естественно-языковой интерфейс для системы порождения программ

При решении обратной задачи (описана выше) нет каких-либо ограничений на вид исходных материалов для восстановления модели решаемой задачи. Это вполне может быть текст на естественном языке. Просто надо написать соответствующие распознающие методы. Поэтому, неожиданным применением обратной задачи может быть реализация естественно-языкового интерфейса к системе порождения:

а) пишется постановка задачи на упрощенном естественном языке;
б) решается обратная задача – из естественно-языковой постановки извлекается формальная постановка (сеть объектов-элементов предметной области);
в) система запускается на порождение программы по полученной формальной постановке.

И эта схема тоже работает. Пример разработан для того же случая простых учебных программ для работы с векторными данными.

Вот пример распознающего метода (класса «Ввод с клавиатуры вектора или скаляра»), который разбит на две версии (распознавание текта программы (режим Programmatical) или распознавание фрагмента постановки задачи на русском языке (режим Russian)). Сверху идет распознающая часть, далее решающие предикаты на GNU Prolog.

Пример постановки задачи на русском языке:

И модель задачи, полученная системой из приведенного выше естественно-языкового описания:

4. Иные применения обратной задачи

Ничто не мешает при решении обратной задачи рассмотреть случай не просто распознавания некоторой программы, а ее распознавание «с улучшением» или иной (произвольного характера) переработкой. В частности, удалось разработать «автоматический параллелизатор» распознаваемой программы, написанной на языке C. Она проводит статический и, отчасти, динамический анализ распознаваемого кода и вставляет в него директивы распараллеливания из расширения Cilk/Cilk++. Такая задача улучшения реализуется распознающими методами (на GNU Prolog).

Пример вычислительной C-программы, обработанной параллелизатором (он вставил директивы cilk_spawn и cilk_sync):

5. Немного фантастики. Верификация и идентификация произвольных программ с закрытым исходным кодом

Здесь речь уже идет о произвольных программах, написанных программистом и/или системой порождении программ, для которых просто нет исходного кода. Пусть требуется проверить корректность функционирования такой программы, или хотя бы даже понять, чем она занимается. В таком случае может быть использован тот или иной вариант так называемого «метаслоя» — гипотетического компонента операционной системы, который отслеживает всю последовательность работы программы (вызов функций, модификация данных в памяти и т.п.) и строит по ней приблизительную модель ее логики в виде эквивалентной по функционированию программы на каком-либо языке программирования. После чего остается решить для такой программы обратную задачу – восстановить возможную исходную модель (или модели), которые позволили бы хотя бы оценить правильность или понять предназначение программы. Прототип такого «метаслоя» когда-то разрабатывался автором для случая C/C++-программ, удалось не так уж много, но кое-что работало. Возможно, когда-нибудь кто-нибудь захочет такую работу выполнить в полноценном объеме.

6. Заключение

Надеюсь, что сумел продемонстрировать, что и автоматическое порождение программ и решение обратной задачи – не чисто академические проблемы, а нечто полезное и имеющее прямые практические следствия. При этом изложенные здесь решения не претендуют на полноту и очевидность, но они реализованы и претендуют на определенную новизну.

Обратная функция

Обратной называется такая функция, для которой каждое ее значение (переменная y) определяется одним значением независимой переменной x из некоторого заданного множества X.

В алгебре принято следующее обозначение обратной функции: f — 1 ( x ) .

Отметим, что не всякая функция является обратимой. Например, к квадратичной зависимости типа y = x 2 невозможно найти обратную функцию, так как два значения независимой переменной x задают одно значение переменной y.

Если теперь ограничить множество возможных значений аргумента интервалом [0; +∞), обратной функцией к исходной параболе станет функция вида y = x . Существование обратной функции стало возможным, поскольку теперь аргумент может принимать только положительные значения.

Сформулируем необходимое условие обратимости функции.

К функции f(x) можно найти обратную тогда и только тогда, когда соблюдено каждое из представленных условий:

• f(x) — непрерывно возрастающая или убывающая на заданной области допустимых значений X;
• одно значение переменной x задает только одно значение переменной y.

Как получить функцию, обратную данной

Укажем необходимые для нахождения обратной функции операции:

1. Из уравнения y = f ( x ) выражаем переменную x. После преобразования получим функцию вида: x = g ( y ) .
2. Для удобства поменяем переменные, то есть вместо «x» запишем «y» и наоборот. Тогда полученную функцию y = f — 1 ( x ) можно считать обратной к y = f ( x ) .

Свойства обратной функции

Приведем основные свойства обратной функции, используемые при решении задач и построении графиков:

1. Поскольку можно считать, что обратная функция отображает зависимость переменной x от y, область значений f — 1 ( x ) — это область допустимых значений (область определения) исходной функции, а область определения, напротив, — область значений исходной функции. То есть: E ( f — 1 ( x ) ) = D ( f ( x ) ) и D ( f — 1 ( x ) ) = E ( f ( x ) ) .
2. Функции f ( x ) и f — 1 ( x ) — взаимно обратные, то есть f — 1 ( x ) — обратная к f(x), а f(x) — обратная к f — 1 ( x ) .
3. При графическом представлении f(x) и f — 1 ( x ) окажутся симметричными. Осью симметрии будет являться прямая y=x.

Теоремы об обратной функции

Как было отмечено, функция обратима, если она монотонна на заданном интервале.

Докажем теорему об обратной функции.

Обратная функция f — 1 ( x ) существует для заданной функции f(x) тогда, когда функция f(x) является монотонно возрастающей или монотонно убывающей на некотором множестве значений X.

Доказательство теоремы: пусть на области X выбраны такие значения, что x1≠x2 и x1f(x2). Каждое возможное значение переменной x задает одно значение переменной y, и f(x) непрерывно убывает на заданном интервале. Соблюдены все условия обратимости, а значит, функция y=f(x) обратима на множестве X, что и требовалось доказать.

Обратимая функция f(x) может быть монотонно возрастающей или же монотонно убывающей на определенном промежутке. Сформулируем и докажем теорему о монотонности обратной функции f — 1 ( x ) .

Пусть имеется функция f(x), непрерывно возрастающая (убывающая) на некотором множестве X, при этом существует обратная к f(x) функция f — 1 ( x ) . Тогда f — 1 ( x ) — монотонно возрастающая (убывающая) на некоторой области Y, где Y — область значений f(x).

Доказательство: допустим, f(x) убывает на множестве X. Возьмем две точки из множества X такие, что x1≠x2 и x1y2. По свойству обратной функции значение переменной y — это область определения исходной функции, тогда получим: f — 1 ( y 1 ) > f — 1 ( y 2 ) . Обратная функция непрерывно убывает на области Y, что и требовалось доказать.

Примеры задач

Определить, является ли функция y=f(x)=10x-4 обратимой, указать обратную к f(x) функцию. Построить графики f(x) и f — 1 ( x ) .

Область определения заданной функции — область действительных чисел R. Функция непрерывно возрастает на R, а значит, обратима. Из выражения y=f(x) выведем формулу для определения аргумента x через y: x = y + 4 10 . Выполним замену «x» на «y» и наоборот, после чего построим графики y=10x-4 и y = x + 4 10 .

На построенных графиков видно одно из свойств обратных функций — симметричность графиков f(x) и f — 1 (x) относительно прямой y=x.

Дана функция y = f ( x ) = x 2 + 4 . Определить, является данная функция обратимой на D(f(x)). Определить обратную функцию к y=f(x).

Функция f(x) — парабола, область определения которой D (f(x))=R. В случае квадратичных функций одному значению функции соответствует пара значений переменной x из множества D(f(x)). Поскольку не выполняется необходимое условие обратимости, функция y = f ( x ) = x 2 + 4 не имеет обратной.

Доказать, что функция y = f ( x ) = x обратима на множестве [0; +∞). Указать обратную к исходной функцию.

На заданной области исходная функция непрерывно возрастает. Любое из значений x ∈ [ 0 ; + ∞ ) определяет одно значение функции, то есть функция обратима.

Выразим x через y: x = y 2 . Поменяем переменные местами: y = x 2 . Получили параболу. Обратная функция к f(x) – ветвь параболы y = x 2 в области положительных чисел.

Приём 13. Принцип «Наоборот»

Приём «Принцип наоборот» предписывает применять для решения задачи такое преобразование, которое кардинально меняет систему, вплоть до её противоположного состояния.

Классическая формулировка приёма:

• Вместо действия, диктуемого условиями задачи, осуществить обратное действие (например, не охлаждать объект, а нагревать).
• Сделать движущуюся часть объекта (или внешней среды) неподвижной, а неподвижную — движущейся.
• Перевернуть объект «вверх ногами».

Приём «Принцип наоборот» достаточно прост и эффективен. Изменение действия, состояния системы и её компонентов, компоновки системы, материалов и т.п. может открыть для решателя новую ресурсную область, где можно найти новые возможности решения задачи. Применять принцип «Наоборот» следует тогда, когда не просматривается возможность решения задачи с исходной системой, если возникают сильные противоречия, возникают и множатся нежелательные эффекты. Так формование деталей из тонкого материала при помощи давления требует достаточно сложного оборудования. Ситуация существенно упрощается, если сделать наоборот: не прижимать заготовку к форме наружным давлением, но использовать вакуумное формование. Суть этой операции состоит в том, что воздух из камеры с формой отсасывается, а атмосферное давление прижимает заготовку к форме.

Мысленное моделирование «А что будет, если сделать наоборот?» проводится довольно быстро, результаты получаются достаточно наглядными, чтобы понять, есть ли смысл в применении этого приёма.

Приём «Принцип наоборот» даёт возможность разрешать противоречия, связанные с тем, что прямое действие, диктуемое условиями задачи, недопустимо, но результат необходим. Этот приём даёт возможность лучше понять улучшаемую систему, не требует значительных мысленных усилий, но при правильном применении даёт хорошие результаты.

ПРИМЕРЫ

Пример. Мост под водой

Мост обычно представляются как сооружение, расположенное над водной поверхностью. Этот мост построен наоборот – в виде тоннеля, проходящего под водой.

Пример. «Принцип наоборот» при раскалывании орехов

Чтобы расколоть орех нужно по нему чем-нибудь стукнуть. Но такой способ не годится для промышленного применения. Для удаления скорлупы поступают наоборот, орех помещают в герметичный сосуд и создают избыточное давление воздуха. Воздух постепенно через зазоры проникает под скорлупу. Затем давление в сосуде резко сбрасывается, и скорлупа раскалывается.

Пример. «Принцип наоборот» для бомбоубежища

Бомбоубежище традиционно устраивают под землёй. Во время второй мировой войны германский архитектор Лео Винкель предложил строить бомбоубежища на поверхности в виде толстостенных бетонных башен. Такое бомбоубежище дешевле, в него трудно попасть, и оно хорошо защищает от взрывной волны.

Пример. «Принцип наоборот» при колке дров

Чтобы расколоть полено, по нему ударяют чем-то заостренным. Машина для колки дров выполняет обратное действие, раскалываемое полено надвигается гидроцилиндром на неподвижные ножи.

Пример. Самолёт схемы «утка»

Чтобы первые истребители имели возможность стрелять через винт, применялись сложные синхронизаторы. Одним из способов обойтись без синхронизатора была установка винта не в носу самолёта, а наоборот – в его хвосте. В этом случае в носу можно было расположить целую батарею из нескольких пулемётов и пушек.

Как решить любую задачу? Часть 1. Алгебра

Обучение математике в школе построено по принципу «повторяй за мной». Учитель дает какой-то метод решения или некий алгоритм, а ученики с помощью этого метода решают задачи. Это похоже на то, как мастер обучает подмастерье. Мастер показывает инструменты и объясняет, что с их помощью можно делать — вот пила, ей отпиливают дерево. А вот рубанок – он нужен для того, чтобы придать отпиленному куску определенную форму. И использовав эти и другие инструменты можно сделать, например, табуретку. Так же в школе: для решения квадратных уравнений удобно пользоваться дискриминантом и теоремой Виета, для рациональных неравенства – хорошо подходит метод интервалов и т.д.

Это, конечно, достаточно эффективный способ обучения, но для того, чтобы набирать на ЕГЭ 80+ баллов этих навыков не хватит. Нужно нечто большое – нужно уметь понять, как решается задача, даже если не видел ничего аналогичного раньше. Это как по совершенно новому для тебя предмету догадаться какие инструменты нужно применить — «сделайте стол, столы вы еще не делали, но делали стулья».

Придумывать новое решение самостоятельно – это тоже навык, который надо развивать. Нужно привыкнуть не бояться нового, уметь задавать себе правильные вопросы и лояльно относиться к своим ошибкам. В этой статье я написала, что помогает лично мне и моим ученикам решать новые задачи.

Предупреждаю: это всё работает только если вы знаете необходимую теорию. То есть уметь отличать рубанок от ножовки всё-таки надо.

5 принципов которые помогут решить задачу:

Не знаешь, что делать – делай, что можешь. Некоторые преподаватели это правило еще формулируют так: «давайте что-нибудь сделаем, а потом подумаем». Новая задача потому и новая, что приступая к решению, ты понятия не имеешь как ее решать. Но почти всегда можно что-то записать по-другому, как-либо преобразовать, изменить. Попробуй, вдруг это верный шаг? Зачастую ученики даже не пытаются делать так, потому что не видят ответа на вопрос: «ну сделаю, а что дальше?». В этом смысле они похожи на водителей, которые ждут пока зеленый сигнал светофора загорится сразу вдоль всего маршрута — действительно, зачем ехать, ведь вон там впереди горит красный! Правильный подход тут, конечно же, иной – пока будешь ехать, сигнал, возможно, уже смениться на зеленый. Или нет. И тогда тебе поможет следующий принцип:

Не бойся «тупиков» — просто начинай решение заново, главное не сдаваться. Нет ничего плохого в том, чтоб решая задачу, пойти не тем путем даже десяток раз. Школьные учебники как-то незаметно приучают нас к тому, что решение должно быть прямое и четкое – «раз, два, три!», ведь в них оно записано именно так. А «муки поиска» решения всегда остаются за скобками, выбрасываются как лишнее, чтоб не захламлять суть. Вот и получается ситуация как на картинке.

Поэтому знай, что…

Задача не обязана решаться с «полпинка». И чем сложнее задача, тем больше тупиков ты обойдешь перед решением. И это хорошо! Главное помни: «прогулки по тупикам» — не пустая трата времени и не потери! Как раз наоборот — в такие моменты ты развиваешь мозги сильнее всего. Когда ты ищешь новое решение, у тебя прямо в этот момент формируются в мозгу новые нейронные связи, и ты в буквальном смысле становишься умнее. Более того, вот этот поиск неведомого решения — на самом деле и есть настоящая математика! Да-да, для кого-то это будет новостью, но математика это не когда ты быстренько подставляешь «цифирьки в формулки» и тут же считаешь ответы, решая задачи по аналогии, а когда ты долго-долго перебираешь разные методы решений, пробуешь применить различные идеи, крутишь задачу так и сяк, и в какой-то момент тебя озаряет, и ты находишь путь, ведущий к ответу. А в поиске этих озарений тебе поможет принцип…

Случайности не случайны. Если ты заметил какое-то совпадение, то, возможно, это не совпадение, а вполне себе ключ к решению. Все переменные стоят внутри одинаковых выражений? У логарифмов совпадают основания? Или все знаменатели дробей являются квадратами друг друга? Подумай — как это можно использовать? Подробнее об этом поговорим ниже.

Если закрыта одна дверь, открыта другая. Не циклись на одной мысли. Возможно, к решению можно подойти вообще с другой стороны. Но перед тем как зачеркивать очередную попытку решения – внимательно проверь, может быть ты просто сделал в нем какую-то простенькую ошибку и поэтому не получается дорешать до конца?

8 вопросов, которые помогут решить почти любое задание в алгебре

Решая задачу, мы ищем ответ на вопрос задания – нужное значение переменной, интервал решений или еще что-то в этом роде. И чтобы прийти к ответу на этот главный вопрос нужно уметь задавать себе промежуточные, опорные вопросы, которые могут натолкнуть на правильный путь рассуждений. Вот эти вопросы:

1. Что передо мной (уравнение, неравенство, выражение)? Как обычно решается такой тип задач?

Пример 1: Решите неравенство (x^2≤100)

— Что передо мной?
— Квадратное неравенство.

— Как решаются квадратные неравенства?
— Методом интервалов.

(x^2-100≤0)
((x-10)(x+10)≤0)

(x∈[-10;10])

Пример 2: Решите уравнение (cos⁡) (frac) (=) (frac)
— Что передо мной?
— Простейшее тригонометрическое уравнение.

— Как решаются такие уравнения?
— Через круг:

(frac) (=±) (frac) (+2πn,n∈Z)

— А теперь что передо мной?
— Хм… Выглядит странно, но похоже на линейное уравнение, так как тут только одна переменная ((x)) и она в первой степени.

— Как решаются линейные уравнения?
— Нужно избавиться от знаменателей, раскрыть все скобки и перенести известные вправо, а неизвестные влево, в общем, привести уравнение к виду (x=[число]).

(frac) (=±) (frac) (+2πn) (|·3) (n∈Z)
(π(x-7)=±π+6πn) (|:π)
(x-7=±1+6n)
(x=7±1+6n)
(x=8+6n;) (x=6+6n;) (n∈Z)

2. Решал ли я похожие задачи? Как я их решал?

Пример 3: Решите уравнение (2 cos^3⁡x-cos^2⁡x+2 cos⁡x-1=0)

— Что передо мной?
— Тригонометрическое уравнение (не простейшее).

— Как обычно решаются тригонометрические уравнения?
— Уравнение преобразовывается с помощью формул, пока невозможно будет сделать замену. Очевидно, что тут сразу можно сделать замену.

(2t^3-t^2+2t-1=0)

Получилось кубическое уравнение.

— Решал ли я похожие задачи? Как я их решал?
— Обычно кубические уравнения я решал либо методом группировки, либо делением многочлена на многочлен.

(t^2 (2t-1)+2t-1=0)
((2t-1)(t^2+1)=0) (|:t^2+1)
(t=) (frac) И т.д.

3. Какие формулы я вижу / какие формулы можно применить? Что надо сделать, чтоб их можно было применить?

Пример 4: Решите уравнение (cos⁡2x=sin⁡(x+frac)).

— Какие формулы можно применить?
— Формулу двойного угла косинуса и формулу приведения :

(2cos^2 x-1=cos⁡x)
(2cos^2 x-cos⁡x-1=0)
(2t^2-t-1=0)

И т.д.

Пример 5: Вычислите (frac)

— Какие формулы я тут вижу?
— Полностью – никаких. Но вот такое же произведение синус на косинус есть в формуле двойного угла синуса:

(sin⁡2x=2 sin⁡x cos⁡x).

— Но не хватает двойки, что можно сделать, чтобы 2 появилась?
— Разложить 10 на множители: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (=-5).

4. Какие «неслучайности» я вижу? Как их можно использовать?

Пример 6: Решите уравнение ((4x-8)^2 (x-8)=(4x-8) (x-8)^2)

— Какие «неслучайности» я вижу?
— Очевидно, что выражения ((4x-8)) и ((x-8)) с той и другой стороны – это неспроста.

— Как их можно использовать?
— Поделить на эти выражения нельзя. Можно попробовать перенести то, что стоит справа в левую часть.

((4x-8)^2 (x-8)-(4x-8) (x-8)^2=0)

Теперь можно одинаковые выражения вынести за скобку.

((4x-8)(x-8)((4x-8)-(x-8))=0)
((4x-8)(x-8)(4x-8-x+8)=0)
((4x-8)(x-8)(3x)=0)
И т.д.

Пример 7: Решите уравнение (frac>) ( =27)

— Какие «не случайности» можно заметить?
— И (9), и (27) являются степенями тройки: (3^2=9), (3^3=27).

— Как это можно использовать?
— Можно заменить (9) на (3^2), а (27) на( 3^3), вот так:

(frac><(3^2 )^x>) ( =3^3)

А теперь можно применить свойство степеней: ((a^n)^m=a^), (frac) ( =a^).

(frac>>) ( =3^3)
(3^=3^3)
(x^2-2x=3)
И т.д.

5. Что я в принципе могу сделать? Какие преобразования допустимы/возможны?

Пример 8: Найдите значение выражения (sqrt-sqrt sin^2frac)

— Что можно сделать с этим выражением?
— Можно вынести множители из-под знака корня.

(=sqrt-sqrtsin^2⁡sqrt=4sqrt-8sqrtsin^2⁡frac=)

— Какие еще преобразования здесь возможны?
— Можно вынести за скобки (4sqrt).

(=4sqrt(1-2 sin^2⁡)=)

— Что еще можно сделать?
— Применить формулу двойного угла (cos⁡2α=1-2sin^2⁡α )

(=4sqrtcos⁡(2cdotfrac)=)(4sqrtcos⁡frac=)(4sqrtcdotfrac=) (frac) (=4)

6. Что мне мешает? Как можно сделать выражение/уравнение/неравенство проще? Как мне было бы удобнее? Что я могу сделать, чтоб стало удобнее?

Пример 9: Решите уравнение (sqrt>) (=) (frac)

— Как можно сделать уравнение сильно проще?
— Если избавиться от корня, то уравнение станет проще.

— Как можно избавиться от корня?
— Можно возвести обе части уравнения в квадрат.

((sqrt>)^2) (=) ((frac)^2)
(frac) (=) (frac)

— Как можно упростить уравнение?
— Можно избавиться от знаменателя.

— Как обычно избавляются от знаменателя?
— Умножением обеих частей уравнения на наименьший общий знаменатель.

(frac) (=) (frac) (|cdot49(4x-54))
(6cdot 49=4x-54)
(-4x=-54-294)
(-4x=-348)
(x=87)

Пример 10: Решите неравенство (log_⁡(frac)^2 +log_⁡frac≤1)

— Как было бы удобнее?
— Было бы удобнее, чтоб аргументы у логарифмов были одинаковые.

— Что надо сделать, чтоб аргументы у логарифмов были одинаковые?
— Вынести квадрат вперед и каким-то образом перевернуть дробь.

(2log_⁡(frac) +log_⁡frac≤1)

— Как можно перевернуть дробь?
— Можно использовать степень (-1).

(2log_⁡(frac)^ +log_⁡frac≤1)
(-2log_⁡(frac) +log_⁡frac≤1)

— Что можно сделать теперь?
— Логарифмы полностью одинаковые значит можно либо сделать замену, либо вынести их за скобку.

(-2log_⁡(frac) +log_⁡frac≤1)
(log_frac (-2+1)≤1)
(-log_⁡frac≤1)
И т.д.

7. Чего от меня хочет задача? Когда будет выполняться условие задачи?

Пример 11: Решите неравенство (frac) (>0)

Допустим, вы никогда не сталкивались с дробными неравенствами или забыли, как их решать. Давай просто порассуждаем.

— Чего от меня хочет задача?
— Чтоб левая часть была положительна.

— А в каком случае дробь (не именно эта, а вообще любая) будет больше нуля? Короче говоря, когда мы делением получим знак плюс?
— Когда будем делить положительное на положительное, либо отрицательное на отрицательное. Иными словами — числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак (и при этом знаменатель не равен нулю).

— А когда будет положителен числитель?
— Когда икс больше трех. Если же икс меньше трех, то числитель будет иметь знак минус.

— Тот же вопрос про знаменатель?
— Знаменатель положителен при иксе большем (1), и отрицателен при иксе меньше (1).

— Так когда же будет выполняться условие задачи?
— При иксе большем (3) (там в дроби и сверху и снизу плюс) и при иксе меньше (1) (в этом случае и числитель, и знаменатель имеют знак минус).

(x∈(-∞;1)∪(3;∞))

Всё, неравенство решено. Заметим, что рассказанное выше — это логическая «начинка» метода интервалов. Помните такой? «Приравняйте к нулю, найдите корни нанесите их на числовую ось, расставьте знаки…» Вот он.

Пример 12: Решить уравнение ((x-2)^2+(x^2-4)^2=0)

— Чего от меня хочет задача?
— Чтоб я нашел такие иксы, при которых слева – ноль.

— А что у нас стоит слева?
— Сумма двух квадратов.

— В каком случае сумма квадратов будет равняться нулю?
— Хм… Квадрат не может быть отрицательным, он всегда больше либо равен нуля. А мы складываем два таких выражения. Значит, нам нужны такие иксы, при которых оба квадрата ОДНОВРЕМЕННО обратятся в ноль, потому что в остальных случаях сумма будет больше нуля.

(begin(x-2)^2=0\(x^2-4)^2=0end)(Leftrightarrow)(beginx-2=0\x^2-4=0end)(Leftrightarrow)(beginx=2\(x-2)(x+2)=0end)(Leftrightarrow)(beginx=2\(x-2)(x+2)=0end)(Leftrightarrow) (beginx=2\ >right.>end)(Leftrightarrow) (x=2)

8. Могу ли я сделать какую-нибудь замену?

Пример 13: Решите неравенство ((frac) (+) (frac)^2) (≤) (frac)

— (вспоминаем предыдущие пункты) Какие неслучайности я вижу?
— В скобке вторая дробь – это перевернутая первая.

— Как это можно использовать?
— Ну…

— Могу ли я сделать какую-либо замену?
— Да, можно заменить (frac) на (t). Тогда вторая дробь будет (frac) .

((t+) (frac) ()^2≤) (frac)

— Какие преобразования тут возможны в принципе?
— О! Можно перенести всё влево и разложить на множители по формуле разности квадратов!

((t+) (frac)) (^2-) (frac) (≤0)
((t+) (frac) (-) (frac) ()(t+) (frac) (+) (frac) ()≤0)

— Что можно теперь сделать?
— Можно привести выражения в скобках к общему знаменателю.

((fracfrac)) (≤0)
(frac) (≤0)
И т.д.

Итого: приучайтесь рассуждать в математике. Не мыслите шаблонами, а ищите путь. И написанные выше вопросы вам в этом помогут. Успешных решений!